Coordonnées et nombres complexes¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Centres du triangle
L'idée¶
Quand on ne voit pas de preuve synthétique, on peut calculer. On place la figure dans un repère, on écrit chaque point avec des coordonnées, des vecteurs ou des nombres complexes, et l'on vérifie la conclusion par l'algèbre. La méthode marche toujours en principe ; tout l'art est de choisir le repère pour que les calculs restent courts.
Trois outils¶
| Outil | Quand l'utiliser |
|---|---|
| Coordonnées cartésiennes | Figure avec des droites perpendiculaires, un angle droit, un carré ; on met un côté sur un axe |
| Vecteurs | Milieux, centres de gravité, parallélogrammes, projections |
| Nombres complexes | Rotations, triangles équilatéraux, similitudes, points sur un cercle |
Les vecteurs avec origine en \(O\)¶
En prenant comme origine le centre \(O\) du cercle circonscrit, avec \(A\), \(B\), \(C\) vus comme des vecteurs de norme \(R\) :
En effet, \((H - A) \cdot (B - C) = (B + C) \cdot (B - C) = \lvert B \rvert^2 - \lvert C \rvert^2 = 0\), donc \((AH) \perp (BC)\), et de même pour les autres hauteurs. La droite d'Euler en découle aussitôt : \(H = 3G\), donc \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés.
Le dictionnaire des nombres complexes¶
On note les points par des minuscules : le point \(A\) a pour affixe \(a\).
| Géométrie | Nombres complexes |
|---|---|
| Rotation de centre \(c\) et d'angle \(\theta\) | \(z \mapsto c + e^{i\theta}(z - c)\) |
| Similitude directe | \(z \mapsto \lambda z + \mu\), avec \(\lambda \neq 0\) |
| \(A\), \(B\), \(C\) alignés | \(\frac{c - a}{b - a}\) est réel |
| \((AB) \perp (CD)\) | \(\frac{d - c}{b - a}\) est imaginaire pur |
| \(ABC\) équilatéral direct | \(a + jb + j^2 c = 0\), où \(j = e^{2i\pi/3}\) |
| Cercle unité | \(\bar{z} = \frac{1}{z}\) pour tout point \(z\) du cercle |
| \(ABC\) et \(A'B'C'\) directement semblables | \(\frac{b - a}{c - a} = \frac{b' - a'}{c' - a'}\) |
| \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cocycliques ou alignés | Le birapport \(\frac{c - a}{c - b} \Big/ \frac{d - a}{d - b}\) est réel |
| Projeté de \(z\) sur la corde \((AB)\) du cercle unité | \(\frac{1}{2}\left(a + b + z - ab\bar{z}\right)\) |
Sur le cercle unité, quand \(A\), \(B\), \(C\) sont sur le cercle circonscrit pris de rayon \(1\), l'orthocentre est \(h = a + b + c\), et le projeté d'un point \(z\) sur la corde \((AB)\) est \(\frac{1}{2}(a + b + z - ab\bar{z})\). On utilise \(1 + j + j^2 = 0\) et \(j^3 = 1\) pour simplifier.
Les coordonnées barycentriques¶
Tout point \(P\) du plan s'écrit \(P = \frac{uA + vB + wC}{u + v + w}\), avec \(u + v + w \neq 0\). Le triplet \((u : v : w)\), défini à un facteur près, est formé de ses coordonnées barycentriques. Pour \(P\) intérieur, \((u : v : w) = ([PBC] : [PCA] : [PAB])\) ; à l'extérieur, on prend des aires algébriques.
| Point | Coordonnées barycentriques |
|---|---|
| Centre de gravité \(G\) | \((1 : 1 : 1)\) |
| Centre du cercle inscrit \(I\) | \((a : b : c)\) |
| Centre exinscrit \(I_A\) | \((-a : b : c)\) |
| Point de Lemoine \(K\) | \((a^2 : b^2 : c^2)\) |
| Centre du cercle circonscrit \(O\) | \((\sin 2\alpha : \sin 2\beta : \sin 2\gamma)\) |
| Orthocentre \(H\) | \((\tan \alpha : \tan \beta : \tan \gamma)\) |
Ce qu'il faut savoir :
- trois points sont alignés si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées (normalisées ou non) est nul ;
- une droite a une équation \(px + qy + rz = 0\) ;
- les points de la cévienne issue de \(A\) sont de la forme \((t : v : w)\) avec \(v : w\) fixé, ce qui rend Ceva immédiat ;
- le cercle circonscrit a pour équation \(a^2yz + b^2zx + c^2xy = 0\).
Les coordonnées trilinéaires \((x : y : z)\) sont proportionnelles aux distances algébriques aux trois côtés ; elles correspondent aux barycentriques \((ax : by : cz)\). Le centre \(I\) y vaut simplement \((1 : 1 : 1)\).
Les barycentriques sont l'outil naturel pour les céviennes, les rapports de longueurs sur les côtés et les points remarquables ; les complexes restent préférables pour les cercles et les rotations.
Exemple résolu¶
Problème (théorème de Napoléon)
Sur les côtés d'un triangle \(ABC\), on construit vers l'extérieur trois triangles équilatéraux, de centres \(N_A\) (sur \([BC]\)), \(N_B\) (sur \([CA]\)) et \(N_C\) (sur \([AB]\)). Montrer que \(N_A N_B N_C\) est équilatéral.
Étape 1 : le critère. On oriente \(ABC\) dans le sens direct. Avec \(j = e^{2i\pi/3}\), un triangle \(UVW\) est équilatéral direct si et seulement si \(u + jv + j^2 w = 0\). Pour le vérifier sur un exemple : \(1 + j \cdot j + j^2 \cdot j^2 = 1 + j^2 + j = 0\).
Étape 2 : le sommet extérieur. Le triangle équilatéral construit vers l'extérieur sur \([BC]\) a un troisième sommet \(X\) tel que \(C\), \(B\), \(X\) soit direct, donc \(c + jb + j^2 x = 0\), soit \(x = -jc - j^2 b\) (car \(\frac{1}{j^2} = j\)). Son centre est la moyenne des trois sommets :
De même, par permutation circulaire :
Étape 3 : vérifier le critère. Calculons \(3(n_A + j n_B + j^2 n_C)\) coefficient par coefficient, avec \(j^3 = 1\) :
- coefficient de \(a\) : \(j(1 - j) + j^2(1 - j^2) = j - j^2 + j^2 - j^4 = j - j = 0\) ;
- coefficient de \(b\) : \((1 - j^2) + j^2(1 - j) = 1 - j^2 + j^2 - j^3 = 0\) ;
- coefficient de \(c\) : \((1 - j) + j(1 - j^2) = 1 - j + j - j^3 = 0\).
Conclusion. \(n_A + j n_B + j^2 n_C = 0\) : le triangle \(N_A N_B N_C\) est équilatéral.
Le réflexe : des rotations ou des triangles équilatéraux appellent les nombres complexes. Une preuve synthétique existe, mais le calcul ne demande aucune idée.
Comment le reconnaître¶
- La figure contient des carrés, des triangles équilatéraux, des rotations ou des similitudes.
- Les points sont presque tous sur un même cercle : prendre ce cercle comme cercle unité.
- On a des milieux et des centres de gravité : les vecteurs suffisent.
- Une configuration avec des angles droits et un côté naturel pour l'axe des abscisses.
- Aucune idée synthétique n'apparaît, et la figure n'a pas trop de points : le calcul reste raisonnable.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Points sur un cercle | Cercle unité, \(\bar{z} = \frac{1}{z}\) |
| Orthocentre et centre de gravité | Origine en \(O\) : \(H = A + B + C\) |
| Triangles équilatéraux | Critère \(a + jb + j^2 c = 0\) |
| Carrés construits sur des côtés | Rotation d'angle \(90^\circ\) : multiplication par \(\pm i\) |
| Angle droit ou deux droites perpendiculaires | Les mettre sur les axes |
| Égalité de vecteurs difficile | La projeter sur deux axes et vérifier chaque projection |
| Céviennes, rapports sur les côtés, points remarquables | Coordonnées barycentriques relatives à \(ABC\) |
| Deux triangles semblables | Égalité de deux quotients complexes |
| Quatre points sur un cercle | Birapport complexe réel |
Exercices d'échauffement¶
- Avec l'origine en \(O\), montrer que le centre du cercle d'Euler est \(\frac{A + B + C}{2}\), et que le cercle d'Euler a pour rayon \(\frac{R}{2}\).
- On construit à l'extérieur du triangle \(ABC\) les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\). Montrer avec les nombres complexes que \(BG = CE\) et \((BG) \perp (CE)\).
- Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque. Montrer que les milieux de ses côtés forment un parallélogramme (théorème de Varignon).
- Avec \(a\), \(b\) sur le cercle unité, montrer qu'un point \(z\) est sur la droite \((AB)\) si et seulement si \(z + ab\bar{z} = a + b\).
- (Droite de Simson.) Avec le cercle unité, montrer que les projetés d'un point \(p\) du cercle sur les trois côtés sont alignés. Indication : utiliser la formule du projeté, puis calculer un rapport.
- Montrer que le point de Gergonne (exercice 2 de Ceva et Ménélaüs) a pour coordonnées barycentriques \(\left(\frac{1}{s - a} : \frac{1}{s - b} : \frac{1}{s - c}\right)\).
- En coordonnées barycentriques, montrer que \(G\), \(I\) et le point de Nagel \(N = (s - a : s - b : s - c)\) sont alignés, avec \(NG = 2 \, GI\).
Coordonnées et complexes dans la shortlist¶
- 2019 G4, solution 3 : avec l'origine au centre du cercle circonscrit, une combinaison à coefficients positifs de carrés de normes donne une contradiction.
- 2023 G1, solution 3 : avec l'origine en \(A\), une similitude de centre \(A\) s'écrit \(z \mapsto \lambda z\), et les milieux se calculent directement.
- 2018 G5, solution 2 : une égalité de vecteurs se vérifie en projetant sur deux axes.
- 2025 G5 : les projections sur une droite des centres et des milieux se comparent par des égalités de vecteurs.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 7 (M. Aassila), p. 20 à 29 (coordonnées cartésiennes), p. 30 à 53 (coordonnées barycentriques : points remarquables, droites, cercles, puissance d'un point), p. 54 à 84 (coordonnées trilinéaires, exercices), p. 205 à 222 (nombres complexes : critères, triangles semblables et équilatéraux, cercles), p. 223 à 237 (céviennes, cercle d'Euler, triangle podaire), p. 243 à 252 (colinéarité, concours et lieux) ; tome 6, p. 116 (matrices et déterminants).
Problèmes de la shortlist¶
14 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,0) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 1 · 2 ★ : 4 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 4 · 5 ★ : 1
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2023 G1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2011 G2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2009 G2 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes |
| 2008 G1 · OIM P1 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2025 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2018 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2013 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G4 | ★★★☆☆ | Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2014 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Ceva et Ménélaüs |
| 2011 G7 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2010 G7 | ★★★★☆ | Homothétie |
| 2006 G8 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G10 · OIM P6 | ★★★★★ | Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |