Puissance d'un point et axe radical¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Chasse aux angles, Triangles semblables
L'idée¶
Soit \(\omega\) un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\), et \(P\) un point du plan. Toute droite passant par \(P\) qui coupe \(\omega\) en \(A\) et \(B\) vérifie
Ce nombre ne dépend pas de la droite : c'est la puissance de \(P\) par rapport à \(\omega\), notée \(p(P, \omega)\). Les mesures sont algébriques : la puissance est positive si \(P\) est hors du cercle, nulle sur le cercle, négative à l'intérieur. Si \(P\) est extérieur et \((PT)\) tangente en \(T\), la puissance vaut \(PT^2\).
Pourquoi. Si deux droites passant par \(P\) coupent \(\omega\) en \(A, B\) et en \(C, D\), les triangles \(PAC\) et \(PDB\) sont semblables (chasse aux angles dans \(ABDC\)), d'où \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\). Pour la droite \((PO)\), on trouve \((OP - r)(OP + r) = OP^2 - r^2\).
La puissance sert dans les deux sens.
- Calculer des longueurs : \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\), ou \(PA \cdot PB = PT^2\) avec une tangente.
- Montrer une cocyclicité (réciproque) : si \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(P\) et \(\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}\), alors \(A, B, C, D\) sont cocycliques. De même, \(PA \cdot PB = PT^2\) montre que \((PT)\) est tangente au cercle \(ABT\).
Axe radical et centre radical¶
L'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux cercles non concentriques est une droite, perpendiculaire à la ligne des centres : c'est leur axe radical. Si les deux cercles se coupent en \(P\) et \(Q\), c'est la droite \((PQ)\) ; s'ils sont tangents, c'est la tangente commune.
Théorème des axes radicaux
Pour trois cercles dont les centres ne sont pas alignés, les trois axes radicaux (pris deux à deux) sont concourants. Leur point commun est le centre radical.
Pourquoi. Le point \(X\) commun à deux des axes a la même puissance par rapport aux cercles \(1\) et \(2\), puis \(2\) et \(3\), donc aussi \(1\) et \(3\) : il est sur le troisième axe.
C'est l'outil standard pour montrer que trois droites sont concourantes : on les reconnaît comme trois axes radicaux. On peut aussi voir un point comme un cercle de rayon nul, dont la puissance est \(PA^2\).
Le shooting lemma¶
Shooting lemma
Soit \(M\) le milieu de l'arc \(BC\) du cercle circonscrit à \(ABC\) qui ne contient pas \(A\). Une droite issue de \(M\) coupe \([BC]\) en \(D\) et recoupe le cercle en \(A'\). Alors
où \(I\) est le centre du cercle inscrit dans \(ABC\).
Pourquoi. Les arcs \(MB\) et \(MC\) sont égaux, donc \(\angle MBD = \angle MBC = \angle MA'B\) : les triangles \(MBD\) et \(MA'B\) sont semblables, d'où \(MD \cdot MA' = MB^2\). L'égalité \(MB = MI\) est le lemme du pôle Sud.
Conséquences :
- \((MB)\) est tangente au cercle circonscrit à \(BDA'\) ;
- pour deux droites issues de \(M\), qui coupent \([BC]\) en \(D\), \(D'\) et le cercle en \(A'\), \(A''\), les points \(D\), \(D'\), \(A''\), \(A'\) sont cocycliques (même puissance de \(M\)) ;
- l'inversion de centre \(M\) et de rayon \(MB\) échange \((BC)\) et le cercle circonscrit, et fixe \(B\), \(C\) et \(I\).
Ptolémée et Casey¶
Pour quatre points, la relation de Ptolémée \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\) caractérise les quadrilatères convexes \(ABCD\) inscriptibles ; en général on a seulement l'inégalité \(\leq\) (voir Inversion).
Le théorème de Casey la généralise à des cercles. Soient quatre cercles tangents à un même cercle \(\Gamma\), dans cet ordre le long de \(\Gamma\), et \(t_{ij}\) la longueur d'une tangente commune aux cercles \(i\) et \(j\) (extérieure si les deux cercles touchent \(\Gamma\) du même côté, intérieure sinon). Alors
Avec quatre cercles de rayon nul, on retrouve Ptolémée.
Exemple résolu¶
Problème
Deux cercles se coupent en \(P\) et \(Q\). Une tangente commune touche le premier cercle en \(A\) et le second en \(B\). Montrer que la droite \((PQ)\) coupe le segment \([AB]\) en son milieu.
Étape 1 : nommer le point. Soit \(M\) l'intersection de \((PQ)\) et \((AB)\). On veut \(MA = MB\).
Étape 2 : puissance par rapport au premier cercle. La droite \((MA)\) est tangente en \(A\), et la droite \((MPQ)\) coupe le cercle en \(P\) et \(Q\). Donc
Étape 3 : puissance par rapport au second cercle. De même, avec la tangente en \(B\) : \(MB^2 = MP \cdot MQ\).
Conclusion. \(MA^2 = MB^2\), donc \(MA = MB\) : \(M\) est le milieu de \([AB]\).
Autrement dit, \(M\) est sur l'axe radical \((PQ)\), et sur l'axe radical les longueurs de tangente aux deux cercles sont égales. Le réflexe : une égalité de deux longueurs de tangente, ou de deux produits, signale un axe radical.
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé contient des produits de longueurs \(PA \cdot PB\), ou des tangentes issues d'un même point.
- On doit montrer que trois droites sont concourantes, et chacune passe par deux points communs à des cercles.
- On doit montrer que quatre points sont cocycliques, et ils sont sur deux droites sécantes.
- Plusieurs cercles se coupent deux à deux, ou ont une tangente commune.
- On veut calculer une distance entre centres, comme \(OI\) ou \(OH\).
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Deux cordes ou sécantes passant par un même point | \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\) |
| Quatre points sur deux droites sécantes | Réciproque de la puissance : égalité des produits, donc cocyclicité |
| Trois droites à rendre concourantes | Les identifier comme les axes radicaux de trois cercles |
| Un point à placer sur une droite \((PQ)\) | Montrer qu'il a la même puissance par rapport à deux cercles passant par \(P\) et \(Q\) |
| Cercles passant par un point fixe, ou ayant un axe radical commun | Trouver deux points ayant la même puissance par rapport à tous les cercles |
| Distance entre deux centres | Écrire une puissance : \(p(I, \Gamma) = OI^2 - R^2\) (formule d'Euler \(OI^2 = R^2 - 2Rr\)) |
| Milieu d'un arc et droites qui en partent | Shooting lemma : \(MD \cdot MA' = MB^2 = MI^2\) |
| Produits de côtés et de diagonales d'un quadrilatère inscrit | Ptolémée ; avec des cercles tangents à un même cercle, Casey |
Exercices d'échauffement¶
- Deux cordes \([AB]\) et \([CD]\) d'un cercle se coupent en \(P\), avec \(PA = 3\), \(PB = 4\) et \(PC = 2\). Calculer \(PD\).
- Soient deux cercles de centres \(O_1 \neq O_2\). Montrer, avec des coordonnées, que l'ensemble des points de même puissance par rapport aux deux cercles est une droite perpendiculaire à \((O_1 O_2)\).
- Soit \(ABC\) un triangle acutangle, de hauteurs \([AD]\), \([BE]\), \([CF]\) et d'orthocentre \(H\). Montrer que \(HA \cdot HD = HB \cdot HE = HC \cdot HF\). Indication : \(B, C, E, F\) sont sur le cercle de diamètre \([BC]\).
- (Formule d'Euler.) Soient \(O\) et \(R\) le centre et le rayon du cercle circonscrit, \(I\) et \(r\) ceux du cercle inscrit. Montrer que \(OI^2 = R^2 - 2Rr\). Indication : la droite \((AI)\) recoupe le cercle circonscrit au milieu \(M\) de l'arc \(BC\), et \(MI = MB\) (voir Centres du triangle).
- (OIM 1995.) Soient \(A, B, C, D\) quatre points alignés dans cet ordre. Les cercles de diamètres \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(X\) et \(Y\). Soit \(P\) un point de \((XY)\) hors de \((AD)\). La droite \((CP)\) recoupe le premier cercle en \(M\), et \((BP)\) recoupe le second en \(N\). Montrer que \((AM)\), \((DN)\) et \((XY)\) sont concourantes. Indication : montrer que \(B, C, M, N\) puis \(A, M, N, D\) sont cocycliques, puis utiliser le centre radical.
- Démontrer les trois conséquences du shooting lemma.
- Soit \(ABC\) un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, et \(P\) un point de l'arc \(BC\) qui ne contient pas \(A\). Montrer que \(PA = PB + PC\). Indication : Ptolémée dans \(ABPC\).
Puissance d'un point dans la shortlist¶
- 2025 G1, solution 1 : un point est sur l'axe radical de deux cercles si ses tangentes aux deux cercles ont même longueur.
- 2021 G1, solution 3 : trois droites sont les trois axes radicaux de trois cercles, donc concourantes.
- 2017 G4 : la puissance d'un point donne une cocyclicité, puis un centre radical conclut.
- 2020 G7 : l'orthocentre a la même puissance par rapport à trois cercles, qui ont donc un axe radical commun.
- 2016 G7, solution 1 : la puissance de \(I\) donne une longueur qui ne dépend pas du sommet choisi.
- 2023 G8 : on trouve deux points ayant la même puissance par rapport à trois cercles, qui ont alors un axe radical commun.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 302 à 315 (puissance d'un point, avec exercices), p. 316 à 318 (shooting lemma), p. 319 à 329 (cercles tangents, avec exercices), p. 361 à 365 (théorème de Ptolémée) ; tome 7, p. 41 et 42 (puissance d'un point en coordonnées barycentriques), p. 171 à 182 (relations métriques dans un quadrilatère cyclique, théorème de Casey et généralisations).
Problèmes de la shortlist¶
56 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,9) · dont 13 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 6 · 2 ★ : 15 · 3 ★ : 17 · 4 ★ : 12 · 5 ★ : 6
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2022 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G2 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2013 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2024 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2021 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2019 G3 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2017 G4 | ★★☆☆☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Homothétie |
| 2016 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2014 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2012 G3 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2012 G4 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2011 G2 | ★★☆☆☆ | Coordonnées et nombres complexes |
| 2010 G2 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G2 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes |
| 2008 G1 · OIM P1 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2008 G2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G2 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs |
| 2025 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2024 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2019 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2017 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs |
| 2014 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Inversion |
| 2013 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2012 G5 · OIM P5 | ★★★☆☆ | - |
| 2011 G3 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2011 G4 | ★★★☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2011 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2009 G3 | ★★★☆☆ | Ceva et Ménélaüs · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2008 G3 | ★★★☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2008 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2006 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2024 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Homothétie |
| 2022 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G7 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2020 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2016 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2011 G6 | ★★★★☆ | Ceva et Ménélaüs · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2007 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2025 G7 | ★★★★★ | Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2023 G8 · OIM P6 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G8 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G8 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2012 G8 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs · Inversion |