Shortlist 2010¶

Les problèmes de l'OIM 2010¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2010, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	A1	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations
P2	G4	★★★☆☆	Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques
P3	N5	★★★☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
P4	G2	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
P5	C4	★★★☆☆	Récurrence et constructions récursives · Invariants et monovariants
P6	A7	★★★★☆	Suites et récurrences · Principe des tiroirs · Principe extrémal

Problème	Difficulté	Concepts
2010 A1 · OIM P1	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations
2010 A2	★☆☆☆☆	AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage
2010 A3	★★☆☆☆	AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu
2010 A4	★★☆☆☆	Suites et récurrences · Récurrence et constructions récursives
2010 A5	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme
2010 A6	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
2010 A7 · OIM P6	★★★★☆	Suites et récurrences · Principe des tiroirs · Principe extrémal
2010 A8	★★★★★	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes

Problème	Difficulté	Concepts
2010 C1	★★☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Bijections et dénombrement
2010 C2	★★★☆☆	Principe des tiroirs · Graphes : degrés, chemins, arbres · Récurrence et constructions récursives
2010 C3	★★☆☆☆	Coloriages et pavages · Principe des tiroirs
2010 C4 · OIM P5	★★★☆☆	Récurrence et constructions récursives · Invariants et monovariants
2010 C5	★★★☆☆	Double comptage · Graphes : degrés, chemins, arbres
2010 C6	★★★★☆	Invariants et monovariants · Principe extrémal
2010 C7	★★★★★	Graphes : degrés, chemins, arbres · Théorème des restes chinois · Récurrence et constructions récursives

Problème	Difficulté	Concepts
2010 G1	★☆☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2010 G2 · OIM P4	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2010 G3	★★★☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2010 G4 · OIM P2	★★★☆☆	Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques
2010 G5	★★★☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2010 G6	★★★★☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2010 G7	★★★★☆	Homothétie · Coordonnées et nombres complexes

Problème	Difficulté	Concepts
2010 N1	★☆☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Sommes, télescopage et transformation d'Abel
2010 N2	★★★☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Ordre d'un élément et racines primitives · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2010 N3	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Descente infinie et Vieta jumping
2010 N4	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Principe des tiroirs · Théorème des restes chinois
2010 N5 · OIM P3	★★★☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2010 N6	★★★★☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Suites et récurrences · Graphes : degrés, chemins, arbres