Shortlist 2022
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Les problèmes de l'OIM 2022
Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2022, choisis dans cette shortlist.
| OIM |
Problème |
Difficulté |
Concepts |
| P1 |
C2 |
★☆☆☆☆ |
Invariants et monovariants |
| P2 |
A3 |
★★☆☆☆ |
AM-GM et moyennes · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| P3 |
N7 |
★★★★☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Récurrence et constructions récursives |
| P4 |
G1 |
★☆☆☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| P5 |
N4 |
★★☆☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| P6 |
C8 |
★★★★☆ |
Double comptage · Graphes : degrés, chemins, arbres |
Algèbre
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2022 A1 |
★☆☆☆☆ |
Suites et récurrences |
| 2022 A2 |
★☆☆☆☆ |
Récurrence et constructions récursives |
| 2022 A3 · OIM P2 |
★★☆☆☆ |
AM-GM et moyennes · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2022 A4 |
★★☆☆☆ |
Principe extrémal |
| 2022 A5 |
★★★☆☆ |
Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe extrémal |
| 2022 A6 |
★★★★☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations |
| 2022 A7 |
★★★★☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2022 A8 |
★★★★★ |
Suites et récurrences · Principe des tiroirs · Bijections et dénombrement |
Combinatoire
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2022 C1 |
★☆☆☆☆ |
Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal |
| 2022 C2 · OIM P1 |
★☆☆☆☆ |
Invariants et monovariants |
| 2022 C3 |
★★☆☆☆ |
Coloriages et pavages · Jeux et stratégies gagnantes · Principe des tiroirs |
| 2022 C4 |
★★☆☆☆ |
Invariants et monovariants · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Récurrence et constructions récursives · Polynômes à coefficients entiers |
| 2022 C5 |
★★★☆☆ |
Bijections et dénombrement · Principe extrémal |
| 2022 C6 |
★★★☆☆ |
Récurrence et constructions récursives · Invariants et monovariants · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2022 C7 |
★★★★☆ |
Invariants et monovariants · Principe des tiroirs |
| 2022 C8 · OIM P6 |
★★★★☆ |
Double comptage · Graphes : degrés, chemins, arbres |
| 2022 C9 |
★★★★★ |
Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Bijections et dénombrement · Partie entière et majorations |
Géométrie
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2022 G1 · OIM P4 |
★☆☆☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G2 |
★☆☆☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G3 |
★★☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2022 G4 |
★★☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2022 G5 |
★★★☆☆ |
Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2022 G6 |
★★★★☆ |
Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2022 G7 |
★★★★☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G8 |
★★★★★ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
Théorie des nombres
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2022 N1 |
★☆☆☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2022 N2 |
★☆☆☆☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2022 N3 |
★★☆☆☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2022 N4 · OIM P5 |
★★☆☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2022 N5 |
★★★☆☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Double comptage |
| 2022 N6 |
★★★★☆ |
Principe des tiroirs · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs |
| 2022 N7 · OIM P3 |
★★★★☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Récurrence et constructions récursives |
| 2022 N8 |
★★★★★ |
Principe extrémal · Principe des tiroirs · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Résidus quadratiques |