Cauchy-Schwarz et lemme de Titu¶
Domaine : Algèbre · Niveau : débutant · Prérequis : AM-GM et moyennes
L'idée¶
Pour des réels quelconques \(x_1, \ldots, x_n\) et \(y_1, \ldots, y_n\) :
avec égalité si et seulement si les deux suites sont proportionnelles (il existe \(\lambda\) tel que \(x_i = \lambda y_i\) pour tout \(i\), ou tous les \(y_i\) sont nuls).
C'est l'inégalité \(|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|\) pour deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). Elle majore une somme de produits par le produit de deux sommes de carrés. Toute la difficulté est de choisir les deux suites.
Pourquoi. Pour tout réel \(t\), le polynôme
est positif ou nul. Un trinôme du second degré qui ne change pas de signe a un discriminant négatif ou nul, ce qui donne exactement l'inégalité. L'égalité correspond à une racine double \(t\), c'est-à-dire \(x_i t = y_i\) pour tout \(i\).
Le lemme de Titu¶
Pour des réels \(a_i\) et des réels \(b_i > 0\) :
avec égalité si et seulement si \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}\).
C'est Cauchy-Schwarz appliqué aux suites \(\left(\frac{a_i}{\sqrt{b_i}}\right)\) et \(\left(\sqrt{b_i}\right)\). Pour deux termes, on peut aussi tout mettre au même dénominateur : l'inégalité devient \((a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \geq 0\). C'est la forme la plus utilisée en olympiade : elle minore une somme de fractions par une seule fraction.
Trois cas particuliers à connaître¶
| Choix des suites | Inégalité obtenue |
|---|---|
| \(y_i = 1\) | \((x_1 + \cdots + x_n)^2 \leq n\,(x_1^2 + \cdots + x_n^2)\), l'inégalité entre moyennes quadratique et arithmétique |
| \(x_i = \sqrt{a_i}\), \(y_i = \frac{1}{\sqrt{a_i}}\) | \((a_1 + \cdots + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2\), l'inégalité arithmético-harmonique |
| \(x_i = \sqrt{a_i}\), \(y_i = 1\) | \(\sqrt{a_1} + \cdots + \sqrt{a_n} \leq \sqrt{n\,(a_1 + \cdots + a_n)}\) |
Exemple résolu¶
Problème (inégalité de Nesbitt)
Pour des réels strictement positifs \(a, b, c\), montrer que \(\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}\).
Étape 1 : faire apparaître des carrés au numérateur. Titu demande des numérateurs qui sont des carrés. On multiplie haut et bas par \(a\), \(b\) et \(c\) :
Étape 2 : appliquer Titu. La somme des dénominateurs vaut \(2(ab + bc + ca)\), donc
Étape 3 : conclure. Il reste à voir que \((a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)\). En développant, c'est \(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\), qui vaut \(\frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right] \geq 0\).
Étape 4 : le cas d'égalité. Il faut \(a = b = c\) à l'étape 3, et alors les rapports \(\frac{a}{ab + ac}\), \(\frac{b}{bc + ba}\), \(\frac{c}{ca + cb}\) de l'étape 2 sont bien égaux. L'inégalité est donc optimale.
Sans l'étape 1, Titu appliqué à \(\frac{(\sqrt a)^2}{b + c} + \cdots\) donnerait \(\frac{(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2}{2(a + b + c)}\), trop faible. Le bon choix de numérateur fait tout le travail. La page AM-GM donne une autre preuve, par Tchebychev.
Comment le reconnaître¶
- Une somme de fractions à minorer, surtout si l'on peut rendre les numérateurs carrés.
- Le carré d'une somme face à une somme de carrés, ou une somme de racines carrées à majorer.
- Un produit de deux sommes, comme \((a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\).
- Une contrainte sur une somme de carrés (par exemple \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)) et une expression linéaire à optimiser, ou l'inverse.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Fractions du type \(\frac{a}{b + c}\) | Multiplier haut et bas par \(a\) pour écrire \(\frac{a^2}{ab + ac}\), puis Titu (exemple résolu) |
| Majorer \(\sum \sqrt{a_i}\) | \(\sum 1 \cdot \sqrt{a_i} \leq \sqrt{n \sum a_i}\) ; ou avec des poids \(\sum \sqrt{w_i} \cdot \sqrt{w_i a_i}\) |
| Optimiser \(\sum c_i x_i\) sous la contrainte \(\sum x_i^2 = k\) | Cauchy-Schwarz directement ; le cas d'égalité donne \(x_i\) proportionnel à \(c_i\) |
| Une moyenne pondérée | \(\left(\sum w_i x_i\right)^2 \leq \left(\sum w_i\right)\left(\sum w_i x_i^2\right)\) pour des poids \(w_i > 0\) |
| Une inégalité stricte | Vérifier que les suites ne sont pas proportionnelles : l'inégalité devient stricte, ce qui fait souvent gagner une unité sur des entiers |
Exercices d'échauffement¶
- Montrer que \(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\) pour tous réels \(a, b, c\), en appliquant Cauchy-Schwarz à \((a, b, c)\) et \((b, c, a)\).
- Trouver le minimum de \(x^2 + y^2 + z^2\) sachant que \(x + 2y + 3z = 14\). Pour quelles valeurs est-il atteint ?
- Montrer que pour \(a, b, c > 0\), \((a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq 9\).
- Soient \(a, b, c > 0\) avec \(a + b + c = 1\). Montrer que \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq 36\). Indication : Titu avec les numérateurs \(1^2, 2^2, 3^2\).
- Soient \(a, b, c \geq 0\) avec \(a + b + c = 1\). Montrer que \(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3}\).
Cauchy-Schwarz dans la shortlist¶
- 2023 A3 : la forme arithmético-harmonique donne \(a_n \geq n\), et même \(a_2 > 2\) car les \(x_i\) distincts ne sont pas proportionnels aux \(\frac{1}{x_i}\) ; on gagne ainsi une unité.
- 2025 A3 : la forme quadratique-arithmétique, \(x_2 + x_4 + \cdots + x_{2k} \leq \sqrt{k\,(x_2^2 + \cdots + x_{2k}^2)}\).
- 2020 A7, solution 1 : la somme de racines \(\sum_j \sqrt{|M_j|} \leq \sqrt{k \sum_j |M_j|}\).
- 2016 A8 : Titu à deux termes, \(\frac{p^2}{u} + \frac{q^2}{v} \geq \frac{(p + q)^2}{u + v}\), et l'étude du cas d'égalité montre que la constante \(\frac{4}{9}\) est optimale.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 281 (énoncé et preuve par le réordonnement), p. 282 (identité de Lagrange et inégalité de Nesbitt), p. 305 et 306 (l'« inégalité pratique » \(\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \geq \frac{(a + b)^2}{x + y}\), c'est-à-dire Titu), p. 248 (trinômes du second degré, pour la preuve par le discriminant).
Pour aller plus loin : Hölder et Minkowski¶
Le lemme de Titu porte plusieurs noms¶
Le lemme de Titu, pour des réels \(x_i\) et des réels \(y_i > 0\),
s'appelle aussi inégalité de Bergström ou forme d'Engel de Cauchy-Schwarz. Les livres français utilisent souvent ces noms.
Inégalité de Hölder¶
Cauchy-Schwarz contrôle une somme de produits de deux facteurs. Hölder fait la même chose avec trois facteurs (ou plus). Pour des réels positifs \(a_i, b_i, c_i\) :
Avec seulement deux suites, la forme générale est : si \(p, q > 1\) et \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), alors
Pour \(p = q = 2\), c'est exactement Cauchy-Schwarz.
Exemple
Pour des réels positifs \(a, b, c\), montrer que \(a^3 + b^3 + c^3 \geq \dfrac{(a + b + c)^3}{9}\).
On applique Hölder aux trois suites \((a, b, c)\), \((1, 1, 1)\) et \((1, 1, 1)\) :
Quand y penser. Une somme de racines cubiques, ou un produit de trois sommes. On écrit chaque terme comme un produit de trois facteurs dont les cubes se somment bien.
Inégalité de Minkowski¶
Pour des réels \(a_i, b_i\) :
C'est l'inégalité triangulaire pour les vecteurs \((a_1, \ldots, a_n)\) et \((b_1, \ldots, b_n)\). Elle se déduit de Cauchy-Schwarz en élevant au carré.
Dans la shortlist¶
-
2018 A7, solution 2. On écrit chaque terme comme \(\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{a} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{b + 7}}\). Hölder donne alors
\[S^3 \leq \left(\sum \sqrt{a}\right)^2 \sum \frac{1}{b + 7}.\]
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 281 (Cauchy-Schwarz), p. 297 (Hölder), p. 306 (Bergström), et § 3.6 pour Minkowski.
Problèmes de la shortlist¶
18 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,2) · dont 2 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 1 · 2 ★ : 7 · 3 ★ : 1 · 4 ★ : 6 · 5 ★ : 3
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2019 A2 | ★☆☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2025 A3 · OIM P5 | ★★☆☆☆ | Jeux et stratégies gagnantes |
| 2023 A3 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2012 C3 | ★★☆☆☆ | Double comptage · AM-GM et moyennes |
| 2010 A3 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2009 A4 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2008 A5 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2006 A4 | ★★☆☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2006 A5 | ★★★☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2020 A7 | ★★★★☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2019 N6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations · AM-GM et moyennes · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2011 A7 | ★★★★☆ | AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2008 A7 | ★★★★☆ | AM-GM et moyennes |
| 2007 A5 | ★★★★☆ | Suites et récurrences |
| 2007 A6 | ★★★★☆ | AM-GM et moyennes |
| 2016 A8 | ★★★★★ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2012 N8 | ★★★★★ | Double comptage · Ordre d'un élément et racines primitives · Résidus quadratiques |
| 2010 A8 | ★★★★★ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · AM-GM et moyennes |