Shortlist 2009, A4

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Belarus

Concepts : AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu

Solution officielle : Shortlist officielle 2009 (avec solutions), p. 17 (page 19 du PDF)

Énoncé

Let \(a, b, c\) be positive real numbers such that \(ab + bc + ca \leq 3abc\). Prove that

\[\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a + b}} + \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{b + c}} + \sqrt{\frac{c^2 + a^2}{c + a}} + 3 \leq \sqrt{2}\left(\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a}\right).\]

Indices : les idées clés

• Découpage : \(\sqrt{2}\sqrt{a + b} = 2\sqrt{\frac{ab}{a + b}}\sqrt{\frac{1}{2}\left(2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}\right)}\).
• Moyennes quadratique et arithmétique : \(\sqrt{2}\sqrt{a + b} \geq \sqrt{\frac{2ab}{a + b}} + \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a + b}}\).
• Moyenne harmonique : \(\sum \sqrt{\frac{2ab}{a + b}} \geq 3\sqrt{\frac{3abc}{ab + bc + ca}} \geq 3\) grâce à l'hypothèse.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2009 (une solution).

Solution

En partant des termes du membre de droite, l'inégalité entre moyennes quadratique et arithmétique donne

\[\sqrt{2}\sqrt{a + b} = 2\sqrt{\frac{ab}{a + b}}\sqrt{\frac{1}{2}\left(2 + \frac{a^2 + b^2}{ab}\right)} \geq 2\sqrt{\frac{ab}{a + b}} \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{ab}}\right) = \sqrt{\frac{2ab}{a + b}} + \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a + b}}\]

et, de même,

\[\sqrt{2}\sqrt{b + c} \geq \sqrt{\frac{2bc}{b + c}} + \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{b + c}}, \qquad \sqrt{2}\sqrt{c + a} \geq \sqrt{\frac{2ca}{c + a}} + \sqrt{\frac{c^2 + a^2}{c + a}}.\]

L'inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique des carrés termine la preuve :

\[\sqrt{\frac{2ab}{a + b}} + \sqrt{\frac{2bc}{b + c}} + \sqrt{\frac{2ca}{c + a}} \geq 3 \cdot \sqrt{\frac{3}{\left(\sqrt{\frac{a + b}{2ab}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{b + c}{2bc}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{c + a}{2ca}}\right)^2}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{3abc}{ab + bc + ca}} \geq 3. \qquad \blacksquare\]