Shortlist 2013
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Les problèmes de l'OIM 2013
Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2013, choisis dans cette shortlist.
| OIM |
Problème |
Difficulté |
Concepts |
| P1 |
N2 |
★☆☆☆☆ |
Récurrence et constructions récursives · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| P2 |
C2 |
★☆☆☆☆ |
Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal |
| P3 |
G6 |
★★★★☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| P4 |
G1 |
★☆☆☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| P5 |
A3 |
★★☆☆☆ |
Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations |
| P6 |
C7 |
★★★★★ |
Bijections et dénombrement · Récurrence et constructions récursives · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs |
Algèbre
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2013 A1 |
★☆☆☆☆ |
Suites et récurrences · Bijections et dénombrement · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2013 A2 |
★★☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Principe extrémal |
| 2013 A3 · OIM P5 |
★★☆☆☆ |
Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations |
| 2013 A4 |
★★★☆☆ |
Double comptage · Graphes : degrés, chemins, arbres · Récurrence et constructions récursives |
| 2013 A5 |
★★★☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Double comptage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2013 A6 |
★★★★☆ |
Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Polynômes à coefficients entiers |
Combinatoire
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2013 C1 |
★☆☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives |
| 2013 C2 · OIM P2 |
★☆☆☆☆ |
Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal |
| 2013 C3 |
★★☆☆☆ |
Graphes : degrés, chemins, arbres · Coloriages et pavages · Récurrence et constructions récursives |
| 2013 C4 |
★★★☆☆ |
Principe des tiroirs · Principe extrémal · Double comptage |
| 2013 C5 |
★★★☆☆ |
Principe des tiroirs · Suites et récurrences |
| 2013 C6 |
★★★★☆ |
Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe extrémal · Principe des tiroirs |
| 2013 C7 · OIM P6 |
★★★★★ |
Bijections et dénombrement · Récurrence et constructions récursives · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs |
| 2013 C8 |
★★★★★ |
Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants · Récurrence et constructions récursives |
Géométrie
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2013 G1 · OIM P4 |
★☆☆☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2013 G2 |
★★☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2013 G3 |
★★☆☆☆ |
Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2013 G4 |
★★★☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2013 G5 |
★★★☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2013 G6 · OIM P3 |
★★★★☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
Théorie des nombres
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2013 N1 |
★☆☆☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2013 N2 · OIM P1 |
★☆☆☆☆ |
Récurrence et constructions récursives · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2013 N3 |
★★☆☆☆ |
Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Principe extrémal · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2013 N4 |
★★★☆☆ |
Valuations p-adiques et lemme LTE · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2013 N5 |
★★★☆☆ |
Jeux et stratégies gagnantes · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Principe extrémal |
| 2013 N6 |
★★★★☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations · Principe extrémal |
| 2013 N7 |
★★★★★ |
Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Partie entière et majorations · Récurrence et constructions récursives · Bijections et dénombrement |