Shortlist 2006¶

Les problèmes de l'OIM 2006¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2006, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	G1	★☆☆☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
P2	C2	★★☆☆☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Récurrence et constructions récursives
P3	A6	★★★☆☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · AM-GM et moyennes
P4	N1	★★☆☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE
P5	N4	★★★☆☆	Polynômes à coefficients entiers · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
P6	G10	★★★★★	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Coordonnées et nombres complexes

Problème	Difficulté	Concepts
2006 A1	★★☆☆☆	Partie entière et majorations · Suites et récurrences
2006 A2	★★☆☆☆	Suites et récurrences · Récurrence et constructions récursives
2006 A3	★★★☆☆	Suites et récurrences · Principe extrémal
2006 A4	★★☆☆☆	Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu
2006 A5	★★★☆☆	Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · Convexité, inégalité de Jensen, lissage
2006 A6 · OIM P3	★★★☆☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · AM-GM et moyennes

Problème	Difficulté	Concepts
2006 C1	★★☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Invariants et monovariants
2006 C2 · OIM P2	★★☆☆☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Récurrence et constructions récursives
2006 C3	★★★☆☆	Bijections et dénombrement · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau
2006 C4	★★★☆☆	Invariants et monovariants · Récurrence et constructions récursives
2006 C5	★★★☆☆	Graphes : degrés, chemins, arbres · Récurrence et constructions récursives
2006 C6	★★★★☆	Coloriages et pavages · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal
2006 C7	★★★★★	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Graphes : degrés, chemins, arbres

Problème	Difficulté	Concepts
2006 G1 · OIM P1	★☆☆☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2006 G10 · OIM P6	★★★★★	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Coordonnées et nombres complexes
2006 G2	★★☆☆☆	Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Ceva et Ménélaüs
2006 G3	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs
2006 G4	★★☆☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2006 G5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2006 G6	★★★☆☆	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs
2006 G7	★★★☆☆	Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques
2006 G8	★★★★☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes
2006 G9	★★★★☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes

Problème	Difficulté	Concepts
2006 N1 · OIM P4	★★☆☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE
2006 N2	★★☆☆☆	Ordre d'un élément et racines primitives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2006 N3	★★☆☆☆	Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Partie entière et majorations
2006 N4 · OIM P5	★★★☆☆	Polynômes à coefficients entiers · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2006 N5	★★★☆☆	Ordre d'un élément et racines primitives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2006 N6	★★★★☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Convexité, inégalité de Jensen, lissage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2006 N7	★★★★☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Théorème des restes chinois · Récurrence et constructions récursives