Shortlist 2006, G3¶

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : United States of America

Concepts : Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 38 (page 39 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé¶

Let \(ABCDE\) be a convex pentagon such that

\[\angle BAC = \angle CAD = \angle DAE \qquad \text{and} \qquad \angle ABC = \angle ACD = \angle ADE.\]

The diagonals \(BD\) and \(CE\) meet at \(P\). Prove that the line \(AP\) bisects the side \(CD\).

Indices : les idées clés

Triangles semblables : \(ABC\), \(ACD\), \(ADE\) sont semblables, puis \(ABD \sim ACE\).
Bissectrices : \(AQ\) et \(AR\) sont les bissectrices homologues de ces deux triangles, d'où \(\frac{AQ}{AR} = \frac{AC}{AD}\), c'est-à-dire \(QR \parallel CD\).
Ceva dans le triangle \(ACD\) avec les céviennes concourantes en \(P\) : \(\frac{AQ}{QC} = \frac{AR}{RD}\) force \(CM = MD\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution et une remarque).

Solution¶

Soient \(Q\) le point d'intersection des diagonales \(AC\) et \(BD\), \(R\) celui des diagonales \(AD\) et \(CE\), et \(M\) le point où la demi-droite \(AP\) coupe le côté \(CD\). On veut prouver que \(CM = MD\).

Figure (solution)

L'idée est de montrer que \(Q\) et \(R\) partagent \(AC\) et \(AD\) dans le même rapport, plus précisément que

\[\frac{AQ}{QC} = \frac{AR}{RD} \tag{1}\]

(ce qui équivaut à \(QR \parallel CD\)). Les égalités d'angles données impliquent que les triangles \(ABC\), \(ACD\) et \(ADE\) sont semblables. On a donc

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{AD}{AE}.\]

Comme \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle CAD + \angle DAE = \angle CAE\), il découle de \(AB/AC = AD/AE\) que les triangles \(ABD\) et \(ACE\) sont aussi semblables. Leurs bissectrices issues de \(A\) sont \(AQ\) et \(AR\) respectivement, de sorte que

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AQ}{AR}.\]

Comme \(AB/AC = AC/AD\), on obtient \(AQ/AR = AC/AD\), ce qui équivaut à (1). Le théorème de Ceva dans le triangle \(ACD\) donne alors

\[\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CM}{MD} \cdot \frac{DR}{RA} = 1.\]

Vu (1), cela se réduit à \(CM = MD\), ce qui termine la preuve. \(\blacksquare\)

Remarque¶

La relation (1) découle immédiatement du fait que les quadrilatères \(ABCD\) et \(ACDE\) sont semblables.