Équations diophantiennes : factorisation et encadrement¶
Domaine : Théorie des nombres · Niveau : débutant · Prérequis : Divisibilité, PGCD
L'idée¶
Une équation diophantienne est une équation dont on cherche les solutions entières. Les entiers ont deux propriétés que les réels n'ont pas : un entier n'a qu'un nombre fini de diviseurs, et il n'y a aucun entier strictement entre \(n\) et \(n + 1\). Les deux grandes méthodes en découlent.
- Factoriser. On réécrit l'équation sous la forme « produit = constante » (ou « produit = puissance d'un premier »). Chaque facteur est alors un diviseur de la constante : il ne reste qu'un nombre fini de cas à examiner.
- Encadrer. On montre par des inégalités que les variables sont bornées, ou qu'une expression est coincée strictement entre deux carrés consécutifs (donc n'est pas un carré). Il reste alors un nombre fini de cas.
On les complète souvent par les congruences, qui éliminent des cas ou prouvent qu'il n'y a pas de solution.
Factorisations à connaître¶
| Équation | Forme factorisée |
|---|---|
| \(xy + ax + by = c\) | \((x + b)(y + a) = c + ab\) |
| \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}\) | \((x - n)(y - n) = n^2\) |
| \(x^2 - y^2 = c\) | \((x - y)(x + y) = c\), avec deux facteurs de même parité |
| \(x^3 \pm y^3\) | \((x \pm y)(x^2 \mp xy + y^2)\) |
| \(a^4 + 4b^4\) | \(a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 - 2ab)(a^2 + 2b^2 + 2ab)\) (Sophie Germain) |
| Produit égal à \(p^k\) | Chaque facteur est une puissance de \(p\) (au signe près) |
Exemple résolu¶
Problème
Trouver tous les triplets d'entiers strictement positifs \((x, y, z)\) tels que \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1\).
Étape 1 : ordonner et encadrer. L'équation est symétrique : on peut supposer \(x \leq y \leq z\), puis permuter à la fin. Alors \(\frac{1}{x}\) est le plus grand des trois termes, donc
Et \(x = 1\) est impossible (la somme dépasserait \(1\)). Donc \(x = 2\) ou \(x = 3\).
Étape 2 : le cas \(x = 3\). Il reste \(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}\) avec \(3 \leq y \leq z\). Le même encadrement donne \(\frac{2}{3} \leq \frac{2}{y}\), donc \(y \leq 3\), d'où \(y = 3\) et \(z = 3\).
Étape 3 : le cas \(x = 2\), par factorisation. Il reste \(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\), soit \(yz = 2y + 2z\), c'est-à-dire
Comme \(2 \leq y \leq z\), les deux facteurs sont positifs avec \(y - 2 \leq z - 2\) : \((y - 2, z - 2) = (1, 4)\) ou \((2, 2)\), d'où \((y, z) = (3, 6)\) ou \((4, 4)\).
Conclusion. À l'ordre près, les solutions sont \((3, 3, 3)\), \((2, 4, 4)\) et \((2, 3, 6)\), et leurs permutations.
Les deux méthodes se complètent : l'encadrement a réduit à un nombre fini de cas, et la factorisation a résolu le cas restant d'un coup.
Comment le reconnaître¶
- On demande de « résoudre en entiers » ou de trouver tous les entiers, tous les premiers, vérifiant une équation.
- On demande quand une expression est un carré, un cube, une puissance d'un premier.
- L'équation est symétrique en plusieurs variables.
- Les degrés des deux membres sont différents : pour de grandes valeurs, un membre l'emporte, ce qui borne les solutions.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Termes \(xy\), \(x\), \(y\) | Compléter le produit : \((x + b)(y + a)\) |
| Produit égal à une puissance d'un premier | Chaque facteur est une puissance de ce premier ; comparer les deux facteurs |
| Équation symétrique | Ordonner les variables et borner la plus petite |
| Montrer que \(E\) n'est pas un carré | L'encadrer strictement entre \(n^2\) et \((n + 1)^2\) |
| Équation du second degré en une variable | Le discriminant doit être un carré parfait |
| Aucune solution attendue | Raisonner modulo un petit entier |
| \(x^2 - dy^2 = 1\) | Équation de Pell : une infinité de solutions, engendrées par la plus petite |
| Une solution en fabrique une plus petite | Descente infinie, saut de Viète |
Exercices d'échauffement¶
- Trouver les entiers strictement positifs \(x, y\) tels que \(xy = x + y + 3\).
- Montrer que \(n^2 + n + 1\) n'est jamais un carré parfait pour \(n \geq 1\).
- Trouver tous les entiers \(n \geq 0\) tels que \(n^2 + 19n + 48\) soit un carré parfait. Indication : comparer à \((n + 9)^2\) et \((n + 10)^2\).
- L'équation \(x^2 - y^2 = 2026\) a-t-elle des solutions entières ?
- Trouver tous les nombres premiers \(p\) tels que \(2p + 1\) soit un cube.
Équations diophantiennes dans la shortlist¶
- 2023 N2 : \(p^a = (b + a^2)(b - a^2)\), donc les deux facteurs sont des puissances de \(p\).
- 2021 N1 : l'encadrement \(0 < (a + 1)^2 < 2(a^2 + b + 3)\) force l'égalité \((a + 1)^2 = a^2 + b + 3\).
- 2016 A5 : un carré serait strictement entre deux carrés consécutifs.
- 2019 N2 : avec \(a \geq b \geq c\), on a \(3a^3 \geq (abc)^2 > a^3\).
- 2025 N8 : \((n - 1)(n + 1) = 2^a q^b\) force \(n = 2^{a-1} \pm 1\).
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 5 (M. Aassila), p. 99 à 110 (méthodes de base et utilisation de la factorisation), p. 345 et 346 (méthode de décomposition), p. 347 à 349 (utilisation des inégalités), p. 350 (représentation paramétrique), p. 352 à 357 (utilisation des congruences), p. 366 (équations sans solutions entières), p. 370 à 384 (équations linéaires et quadratiques, équation de Pell).
Problèmes de la shortlist¶
29 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,6) · dont 5 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 6 · 2 ★ : 8 · 3 ★ : 9 · 4 ★ : 3 · 5 ★ : 3
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2023 N2 | ★☆☆☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2022 N1 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2021 N1 | ★☆☆☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2019 N2 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2014 N2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2011 A1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2022 N4 · OIM P5 | ★★☆☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2021 N3 | ★★☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2016 N4 | ★★☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2012 N2 | ★★☆☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE |
| 2012 N4 | ★★☆☆☆ | - |
| 2008 A2 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2007 N1 | ★★☆☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2006 N1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE |
| 2018 N5 | ★★★☆☆ | - |
| 2016 A5 | ★★★☆☆ | Partie entière et majorations |
| 2016 N5 | ★★★☆☆ | Descente infinie et Vieta jumping · Principe extrémal |
| 2015 N5 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2014 N5 | ★★★☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2013 N4 | ★★★☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2010 N2 | ★★★☆☆ | Ordre d'un élément et racines primitives · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2009 N4 | ★★★☆☆ | Descente infinie et Vieta jumping · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2007 C3 | ★★★☆☆ | Double comptage |
| 2023 N7 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2019 N6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations · AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2006 N6 | ★★★★☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2025 N8 | ★★★★★ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Résidus quadratiques · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2019 N8 | ★★★★★ | Principe extrémal · Partie entière et majorations · Descente infinie et Vieta jumping |
| 2014 A6 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Suites et récurrences |