Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité¶
Domaine : Algèbre · Niveau : intermédiaire · Prérequis : aucun
L'idée¶
Une équation fonctionnelle est vraie pour toutes les valeurs des variables. Chaque choix de valeurs, une substitution, donne donc une nouvelle relation, gratuite. Le travail consiste à choisir les substitutions qui apprennent quelque chose sur \(f\).
On procède presque toujours dans cet ordre :
- Deviner les solutions. On teste les constantes, \(f(x) = x\), \(f(x) = -x\), \(f(x) = ax + b\). Connaître la réponse dit quelles propriétés chercher.
- Calculer des valeurs particulières : \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-1)\), avec des substitutions comme \(x = y = 0\).
- Établir des propriétés de \(f\) : injectivité, surjectivité, parité, périodicité, points fixes.
- Conclure, puis vérifier que chaque fonction trouvée satisfait l'équation de départ. Ce dernier point est obligatoire : les étapes précédentes montrent seulement que les solutions sont parmi les candidates.
Substitutions de base¶
| Substitution | Effet typique |
|---|---|
| \(x = 0\), \(y = 0\), \(x = y = 0\) | Calcule \(f(0)\) et simplifie l'équation |
| \(y = x\) ou \(y = -x\) | Fait apparaître \(f(2x)\), \(f(x^2)\) ou \(f(0)\) |
| Échanger \(x\) et \(y\) | Si un membre est symétrique, on soustrait les deux versions |
| Une valeur qui rend deux arguments égaux | Par exemple \(y = \frac{x}{x-1}\) rend \(x + y = xy\), et les termes \(f(x + y)\) et \(f(xy)\) se comparent |
| $y = $ une expression en \(f\) | Par exemple \(y = -f(x)\) ou \(y = x - f(x)\), pour faire apparaître \(f(0)\) ou une valeur connue |
Injectivité et surjectivité¶
- \(f\) est injective si \(f(a) = f(b)\) entraîne \(a = b\). On le prouve en supposant \(f(a) = f(b)\), puis en injectant \(a\) et \(b\) dans l'équation à un endroit où ils apparaissent hors de \(f\). Une fois \(f\) injective, on peut « simplifier par \(f\) » : \(f(A) = f(B)\) donne \(A = B\).
- \(f\) est surjective si toute valeur est atteinte. On le prouve en trouvant une substitution où un membre vaut \(f(\text{quelque chose})\) et l'autre parcourt tous les réels, par exemple \(x + c\). Une fois \(f\) surjective, on peut choisir un \(a\) avec \(f(a) = 0\) (ou toute autre valeur utile) et le substituer.
- Le cas le plus fréquent : une relation du type \(f(f(x)) = x + c\) rend \(f\) bijective d'un coup. En effet, \(f(a) = f(b)\) donne \(f(f(a)) = f(f(b))\), soit \(a = b\) ; et tout réel \(t\) vaut \(f\big(f(t - c)\big)\).
Exemple résolu¶
Problème (Shortlist 2002 A1)
Trouver toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que, pour tous réels \(x, y\),
Étape 1 : deviner. Essayons \(f(x) = ax + b\). Le membre de gauche vaut \(a^2 x + ab + ay + b\), le membre de droite \((2 - a)x + a^2 y + ab + b\). En identifiant les coefficients de \(x\) et de \(y\) : \(a^2 = 2 - a\) et \(a = a^2\), d'où \(a = 1\). On s'attend donc à \(f(x) = x + b\) pour une constante \(b\).
Étape 2 : surjectivité. Le membre de gauche fait apparaître \(f(0)\) si l'on prend \(y = -f(x)\) :
Quand \(x\) parcourt \(\mathbb{R}\), le membre de droite \(f(0) - 2x\) parcourt tous les réels : \(f\) est surjective.
Étape 3 : utiliser un zéro. Soit \(a\) tel que \(f(a) = 0\). Avec \(x = a\), l'équation devient
Comme \(f\) est surjective, \(f(y)\) prend toutes les valeurs réelles \(z\) : on a \(f(z - a) = z - 2a\) pour tout \(z\). En posant \(t = z - a\), il vient \(f(t) = t - a\) pour tout réel \(t\).
Étape 4 : vérifier. Pour \(f(x) = x + c\) (\(c\) quelconque), le membre de gauche vaut \(x + y + 2c\) et le membre de droite \(2x + (y + c - x) + c = x + y + 2c\). Les solutions sont exactement les fonctions \(f(x) = x + c\).
La substitution clé, \(y = -f(x)\), a été choisie pour annuler l'argument du membre de gauche. C'est le réflexe à prendre : regarder ce qui est à l'intérieur de \(f\) et chercher la valeur qui le rend simple.
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé demande de trouver toutes les fonctions vérifiant une relation pour toutes les valeurs des variables : cette page s'applique toujours, avant toute méthode plus spécialisée.
- \(f\) apparaît à l'intérieur de \(f\) (\(f(f(x))\), \(f(x + f(y))\)) : penser à l'injectivité, à la surjectivité et aux points fixes.
- Une variable apparaît seule, hors de \(f\) (un terme \(+ y\) ou \(2x\)) : c'est elle qui donne l'injectivité ou la surjectivité.
- Le domaine est \(\mathbb{Z}\) ou \(\mathbb{N}\) : les substitutions se combinent avec une récurrence.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Un terme comme \(f(x + f(y))\) | Annuler ou fixer l'argument avec une substitution en \(f\) (exemple résolu) |
| Deux substitutions donnent le même membre | Égaler les deux autres membres ; on obtient souvent une relation de récurrence |
| \(f(x)\) et \(f(1 - x)\), ou \(f(x)\) et \(f\left(\frac{1}{x}\right)\) | Substituer \(x \mapsto 1 - x\) (ou \(\frac{1}{x}\)) et résoudre le système obtenu |
| Les mêmes expressions à l'intérieur et à l'extérieur de \(f\) | La méthode des points fixes (section suivante) |
| Une équation additive \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) apparaît | Voir Équation de Cauchy |
| Plusieurs solutions candidates | Montrer que pour chaque \(x\), \(f(x)\) vaut l'une ou l'autre, puis exclure les mélanges |
Exercices d'échauffement¶
- Trouver toutes les \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x + y) = x + f(y)\) pour tous \(x, y\).
- Trouver toutes les \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x)f(y) - f(xy) = x + y\). Indication : calculer \(f(0)\).
- Trouver toutes les \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x) + 2f(1 - x) = x^2\). Indication : remplacer \(x\) par \(1 - x\).
- Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que \(f(f(x)) = x + 1\) pour tout \(x\). Montrer que \(f\) est bijective et que \(f(x + 1) = f(x) + 1\).
- Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que \(f(x + f(y)) = f(x) + y\) pour tous \(x, y\). Montrer que \(f\) est bijective, que \(f(0) = 0\), puis que \(f(f(y)) = y\).
Substitutions dans la shortlist¶
- 2015 A2 : on trouve un \(z\) avec \(f(z) = -1\), puis on l'injecte pour obtenir \(f(x + 1) = f(f(x))\).
- 2019 A1 : deux substitutions donnent le même membre \(f(f(n + 1))\) ; on en déduit que \(f(n + 1) - f(n)\) est constant.
- 2017 A6 : \(y = \frac{x}{x - 1}\) rend \(x + y = xy\) et fournit des zéros de \(f\) ; \(y = 1\) donne \(f(x + 1) = f(x) + 1\).
- 2020 A8, solution 1 : \(x = 1\) exprime \(y\) en fonction de \(f(y)\), donc \(f\) est injective.
- 2016 A4 : échanger \(x\) et \(y\) dans un membre symétrique, puis l'injectivité conclut.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 490 à 494 (injectivité, surjectivité, bijectivité, avec exemples), p. 494 à 499 (fonctions paires, périodiques, monotones), p. 521 à 526 (méthodes : valeurs particulières, récurrence, substitutions, symétries), p. 27 (récurrence et équations fonctionnelles). Pour l'exercice 3, voir aussi le tome 1, chapitre 5 (systèmes d'équations, p. 301).
Pour aller plus loin : la méthode des points fixes¶
Un point fixe de \(f\) est un nombre \(c\) tel que \(f(c) = c\). Beaucoup d'équations fonctionnelles se résolvent en étudiant l'ensemble des points fixes. La méthode a quatre temps.
- Fabriquer des points fixes. On cherche une substitution qui donne une égalité de la forme \(f(E) = E\). Alors \(E\) est un point fixe, pour toutes les valeurs des variables.
- Contraindre les points fixes. On remplace une variable par un point fixe \(c\) dans l'équation de départ. On obtient une condition sur \(c\), qui limite les points fixes possibles.
- Propager. On montre que si \(c\) est un point fixe, alors \(c + 1\), \(2c\), \(-c\), … le sont aussi.
- Conclure. Si tout réel est un point fixe, alors \(f(x) = x\). Si un seul nombre \(c_0\) peut être point fixe et que \(E\) est toujours un point fixe, alors \(E = c_0\), ce qui donne souvent \(f\) directement.
Exemple : Shortlist 2015 A4
Trouver toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que, pour tous réels \(x, y\),
Fabriquer. Avec \(y = 1\), les termes \(f(x)\) se simplifient et il reste
Donc \(x + f(x+1)\) est un point fixe de \(f\) pour tout réel \(x\).
Contraindre. Avec \(x = 0\), on obtient \(f\big(f(y)\big) + f(0) = f(y) + y f(0)\). Si \(c\) est un point fixe, la substitution \(y = c\) donne \(c + f(0) = c + c\,f(0)\), soit \(f(0)(c - 1) = 0\).
Conclure dans le cas \(f(0) \neq 0\). Le seul point fixe possible est alors \(c = 1\). Comme \(x + f(x+1)\) est un point fixe, \(x + f(x+1) = 1\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(f(x) = 2 - x\).
Le cas \(f(0) = 0\) utilise l'étape de propagation : si \(c\) et \(c + 1\) sont des points fixes, alors \(c + 2\) aussi. On en déduit que \(f\) est impaire, puis que \(f(x) = x\). Les détails sont dans la solution complète.
Quand y penser. Une substitution fait apparaître la même expression à l'intérieur et à l'extérieur de \(f\). C'est souvent le cas avec \(x = y\), \(y = 0\) ou \(y = 1\).
Dans la shortlist¶
- 2015 A4 : l'exemple ci-dessus.
- 2019 A7, solution 2 : un entier \(f\)-rare \(v\) vérifie \(f(v) = v\).
- 2024 A7 : la substitution \(x = y\) montre que \(x + f(x)\) est un point fixe pour tout \(x\).
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), chapitre 4, en particulier la section sur les méthodes (p. 521).
Problèmes de la shortlist¶
50 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,0) · dont 12 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 5 · 2 ★ : 12 · 3 ★ : 16 · 4 ★ : 11 · 5 ★ : 6
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2023 A2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2019 A1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2018 A1 | ★☆☆☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE |
| 2015 A2 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2013 N1 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2025 A4 | ★★☆☆☆ | Principe extrémal · Principe des tiroirs |
| 2025 N4 | ★★☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2024 A4 | ★★☆☆☆ | Partie entière et majorations · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal |
| 2022 A3 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2019 N4 | ★★☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Principe des tiroirs |
| 2017 A3 | ★★☆☆☆ | Principe des tiroirs |
| 2016 A4 | ★★☆☆☆ | - |
| 2013 A3 · OIM P5 | ★★☆☆☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité · Partie entière et majorations |
| 2012 A1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Récurrence et constructions récursives |
| 2011 A3 | ★★☆☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2010 A1 · OIM P1 | ★★☆☆☆ | Partie entière et majorations |
| 2008 A1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | - |
| 2023 A4 | ★★★☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2018 A5 | ★★★☆☆ | Suites et récurrences |
| 2015 A4 · OIM P5 | ★★★☆☆ | - |
| 2014 A4 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Récurrence et constructions récursives |
| 2013 A5 | ★★★☆☆ | Double comptage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2012 A5 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2011 A4 | ★★★☆☆ | Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal |
| 2011 A6 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2010 A5 | ★★★☆☆ | Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme |
| 2010 N5 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme |
| 2009 A3 · OIM P5 | ★★★☆☆ | Principe extrémal |
| 2009 A5 | ★★★☆☆ | Suites et récurrences |
| 2008 A3 | ★★★☆☆ | Principe extrémal |
| 2007 A2 | ★★★☆☆ | Principe extrémal |
| 2007 A4 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2007 N5 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2024 A7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations · Principe extrémal |
| 2022 A6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations |
| 2020 A6 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Principe extrémal |
| 2017 A6 · OIM P2 | ★★★★☆ | - |
| 2016 N6 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2016 A7 | ★★★★☆ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2015 A5 | ★★★★☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2013 N6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations · Principe extrémal |
| 2010 A6 | ★★★★☆ | Principe extrémal |
| 2009 A7 | ★★★★☆ | - |
| 2008 A6 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2024 N7 | ★★★★★ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Valuations p-adiques et lemme LTE · Graphes : degrés, chemins, arbres |
| 2023 N8 | ★★★★★ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Théorème des restes chinois |
| 2021 A8 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2020 A8 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2019 A7 | ★★★★★ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Principe extrémal |
| 2014 A6 | ★★★★★ | Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Suites et récurrences |