Shortlist 2011¶

Les problèmes de l'OIM 2011¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2011, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	A1	★☆☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
P2	C3	★★★☆☆	Invariants et monovariants · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau
P3	A6	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité
P4	C1	★☆☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Bijections et dénombrement
P5	N5	★★★☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Principe extrémal
P6	G8	★★★★★	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Problème	Difficulté	Concepts
2011 A1 · OIM P1	★☆☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2011 A2	★★☆☆☆	Suites et récurrences · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
2011 A3	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
2011 A4	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal
2011 A5	★★★☆☆	Récurrence et constructions récursives
2011 A6 · OIM P3	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité
2011 A7	★★★★☆	Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage

Problème	Difficulté	Concepts
2011 C1 · OIM P4	★☆☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Bijections et dénombrement
2011 C2	★★☆☆☆	Principe extrémal · Invariants et monovariants
2011 C3 · OIM P2	★★★☆☆	Invariants et monovariants · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau
2011 C4	★★☆☆☆	Double comptage · Principe des tiroirs · Graphes : degrés, chemins, arbres
2011 C5	★★★☆☆	Invariants et monovariants · Bijections et dénombrement
2011 C6	★★★★☆	Double comptage · Principe extrémal
2011 C7	★★★★★	Double comptage · Coloriages et pavages · Récurrence et constructions récursives

Problème	Difficulté	Concepts
2011 G1	★☆☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2011 G2	★★☆☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Coordonnées et nombres complexes
2011 G3	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2011 G4	★★★☆☆	Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2011 G5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2011 G6	★★★★☆	Ceva et Ménélaüs · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2011 G7	★★★★☆	Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Coordonnées et nombres complexes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2011 G8 · OIM P6	★★★★★	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Problème	Difficulté	Concepts
2011 N1	★★☆☆☆	Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme
2011 N2	★★☆☆☆	Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Valuations p-adiques et lemme LTE · Principe des tiroirs
2011 N3	★★★☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2011 N4	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE
2011 N5 · OIM P5	★★★☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Principe extrémal
2011 N6	★★★★☆	Ordre d'un élément et racines primitives · Polynômes à coefficients entiers · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2011 N7	★★★★☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE
2011 N8	★★★★★	Ordre d'un élément et racines primitives · Résidus quadratiques · Graphes : degrés, chemins, arbres