Polynômes à coefficients entiers¶
Domaine : Algèbre · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Polynômes : racines, Viète, Congruences
L'idée¶
Quand les coefficients sont entiers, un polynôme se comporte bien avec la divisibilité. Le fait central est très simple :
Pourquoi. \(P(a) - P(b)\) est une somme de termes \(c_k (a^k - b^k)\), et chaque \(a^k - b^k = (a - b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \cdots + b^{k-1})\) est divisible par \(a - b\).
Conséquence : si \(a \equiv b \pmod m\), alors \(P(a) \equiv P(b) \pmod m\). La valeur de \(P(n)\) modulo \(m\) ne dépend que de \(n\) modulo \(m\) ; il suffit de tester \(m\) restes.
Racines entières et rationnelles¶
- Racines rationnelles. Si \(\frac{p}{q}\) (fraction irréductible) est racine de \(a_n x^n + \cdots + a_0\), alors \(p\) divise \(a_0\) et \(q\) divise \(a_n\). En particulier, les racines rationnelles d'un polynôme unitaire sont entières, et divisent \(a_0\).
- Factorisation sans quitter \(\mathbb{Z}\). Si \(r\) est une racine entière, la division par \(x - r\) (unitaire) donne \(P(x) = (x - r)Q(x)\) avec \(Q\) à coefficients entiers. Plus généralement, si \(P(a_1) = \cdots = P(a_k) = c\) pour des entiers distincts, alors \(P(x) - c = (x - a_1)\cdots(x - a_k)\,Q(x)\) avec \(Q \in \mathbb{Z}[x]\).
Irréductibilité¶
Un polynôme est irréductible s'il ne s'écrit pas comme produit de deux polynômes non constants.
- Lemme de Gauss. Un polynôme à coefficients entiers qui se factorise avec des coefficients rationnels se factorise aussi avec des coefficients entiers. On peut donc raisonner dans \(\mathbb{Z}[x]\).
- Critère d'Eisenstein. S'il existe un nombre premier \(p\) qui divise tous les coefficients sauf le dominant, et si \(p^2\) ne divise pas le coefficient constant, alors le polynôme est irréductible. Exemple : \(x^5 - 6x + 3\) avec \(p = 3\).
- Réduction modulo \(p\). Si \(P\) garde son degré modulo \(p\) et y devient irréductible, alors \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{Z}\).
Exemple résolu¶
Problème
Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers qui vaut \(5\) en quatre entiers distincts \(a, b, c, d\). Montrer que \(P(k) \neq 8\) pour tout entier \(k\).
Étape 1 : factoriser. \(P(x) - 5\) s'annule en \(a, b, c, d\). Comme on divise par des facteurs unitaires, on reste dans \(\mathbb{Z}[x]\) :
Étape 2 : supposer le contraire. Si \(P(k) = 8\) pour un entier \(k\), alors
un produit de cinq entiers, dont les quatre premiers sont distincts.
Étape 3 : compter les diviseurs. Chacun des quatre nombres \(k - a, \ldots, k - d\) divise \(3\), donc appartient à \(\{1, -1, 3, -3\}\). Comme ils sont distincts, ce sont exactement ces quatre valeurs, de produit \(9\). Mais alors \(3 = 9\,Q(k)\), impossible pour un entier \(Q(k)\).
Le réflexe : les valeurs d'un polynôme entier en des entiers sont reliées par des divisibilités. Une égalité de polynômes devient une égalité d'entiers, et l'on conclut en comptant les diviseurs.
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé précise « à coefficients entiers » : c'est presque toujours qu'une divisibilité va servir.
- On compare les valeurs de \(P\) en plusieurs entiers, ou l'on demande si \(P(n)\) peut valoir une certaine valeur.
- On cherche les racines entières ou rationnelles d'une équation.
- On demande de montrer qu'un polynôme ne se factorise pas.
- Les valeurs \(P(n)\) sont étudiées modulo un entier.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Relier \(P(a)\) et \(P(b)\) | \(a - b\) divise \(P(a) - P(b)\) |
| \(P(n)\) modulo \(m\) | Ne dépend que de \(n \bmod m\) : tester les \(m\) restes |
| Valeur imposée en plusieurs entiers | Factoriser \(P - c\) dans \(\mathbb{Z}[x]\), puis compter les diviseurs (exemple résolu) |
| Trouver les racines rationnelles | Candidats \(\frac{p}{q}\) avec \(p \mid a_0\) et \(q \mid a_n\) |
| Montrer l'irréductibilité | Eisenstein, éventuellement après le changement \(x \mapsto x + 1\) ; ou réduction modulo un premier |
| Itérées \(P(P(n))\) | \(P(n) - n\) divise \(P(P(n)) - P(n)\) |
Exercices d'échauffement¶
- Soit \(P\) à coefficients entiers avec \(P(0)\) et \(P(1)\) impairs. Montrer que \(P\) n'a pas de racine entière.
- Montrer qu'il n'existe pas de polynôme \(P\) à coefficients entiers tel que \(P(1) = 2\) et \(P(3) = 5\).
- Trouver les racines rationnelles de \(2x^3 - x^2 - 2x + 1\), puis le factoriser.
- Montrer que \(x^4 + 6x^3 + 4x + 2\) est irréductible.
- Soit \(P\) à coefficients entiers et \(n\) un entier. Montrer que \(P(n) - n\) divise \(P(P(n)) - P(n)\).
Polynômes entiers dans la shortlist¶
- 2025 A5 : irréductibilité sur \(\mathbb{Z}\), par le critère d'Eisenstein (solution 2) ou par une réduction modulo \(2\) du même type (solution 1).
- 2023 A6, solution 2 : \(a_n + b_j\) divise un produit fixe qui ne dépend pas de \(n\) ; comme \(a_n\) grandit, ce produit est nul.
- 2016 N1, solution 2 : en évaluant \(P\) en \(n = 9 \times 10^k\), l'écriture décimale de \(P(n)\) sépare les coefficients en blocs.
- 2021 N8 : la formule \(P(r + h) = P(r) + hP'(r) + h^2 Q(r, h)\), avec \(Q\) à coefficients entiers, contrôle \(P\) modulo les puissances de \(p\).
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 1 (M. Aassila), p. 364 (\(a - b\) divise \(P(a) - P(b)\)), p. 366 (théorème de la racine rationnelle), p. 384 (polynômes irréductibles et lemme de Gauss), p. 385 et 386 (critère d'Eisenstein), et la solution p. 483 pour une application directe de la divisibilité \(a - b \mid P(a) - P(b)\).
Problèmes de la shortlist¶
15 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,5) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 1 · 2 ★ : 1 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 7 · 5 ★ : 2
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2016 N1 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2022 C4 | ★★☆☆☆ | Invariants et monovariants · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Récurrence et constructions récursives |
| 2025 A5 | ★★★☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2012 A4 | ★★★☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe des tiroirs |
| 2012 N5 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme |
| 2006 N4 · OIM P5 | ★★★☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2023 A6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Principe extrémal · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe des tiroirs · Descente infinie et Vieta jumping |
| 2017 N7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Théorème des restes chinois · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2014 N6 | ★★★★☆ | Théorème des restes chinois · Double comptage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2013 A6 | ★★★★☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2011 N6 | ★★★★☆ | Ordre d'un élément et racines primitives · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2009 N5 | ★★★★☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Double comptage |
| 2009 N6 | ★★★★☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Suites et récurrences |
| 2021 N8 | ★★★★★ | Théorème des restes chinois · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2016 N8 | ★★★★★ | Principe des tiroirs · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme |