Shortlist 2016, N8¶
Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : non indiqué
Concepts : Principe des tiroirs · Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme
Solution officielle : Shortlist officielle 2016 (avec solutions), p. 85 (page 88 du PDF)
Pas encore relu
Les concepts et la rédaction de cette page n'ont pas encore été vérifiés.
Énoncé¶
Find all polynomials \(P(x)\) of odd degree \(d\) and with integer coefficients satisfying the following property: for each positive integer \(n\), there exist \(n\) positive integers \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) such that \(\frac{1}{2} < \frac{P(x_i)}{P(x_j)} < 2\) and \(\frac{P(x_i)}{P(x_j)}\) is the \(d\)-th power of a rational number for every pair of indices \(i\) and \(j\) with \(1 \leq i, j \leq n\).
Indices : les idées clés
- Supprimer le terme en \(y^{d-1}\) par le changement de variable \(y = da_dx + a_{d-1}\).
- Principe des tiroirs : pour \(n\) assez grand, \(d + 1\) des \(y_i\) sont congrus modulo un grand nombre premier \(p\).
- Polynômes à coefficients entiers et congruences : \(y_1 \equiv y_i \pmod p\) entraîne \(cQ(y_1) \equiv cQ(y_i) \pmod p\) ; avec \(\operatorname{pgcd}(p-1, d) = 1\) (choix de \(p\) par le théorème de Dirichlet), le petit théorème de Fermat donne \(l \equiv m \pmod p\).
- Comparer des ordres de grandeur : un entier non nul multiple de \(p\) (ou un rapport où \(p\) se simplifie) est trop gros pour être compensé par les termes de degré \(\leq d-2\).
- Polynôme ayant trop de racines : un polynôme de degré \(\leq d\) ayant \(d+1\) racines est nul.
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2016 (une solution et une remarque).
Réponse. \(P(x) = a(rx + s)^d\), où \(a, r, s\) sont des entiers avec \(a \neq 0\), \(r \geq 1\) et \(\operatorname{pgcd}(r, s) = 1\).
Solution¶
Écrivons \(P(x) = a_dx^d + a_{d-1}x^{d-1} + \cdots + a_0\). Faisons le changement de variable \(y = da_dx + a_{d-1}\) et posons \(Q(y) = P(x)\) : \(Q\) est un polynôme à coefficients rationnels sans terme en \(y^{d-1}\). Écrivons
La condition dit que pour tout \(n \geq 1\), il existe des entiers \(y_1, \ldots, y_n\) tels que \(\frac12 < \frac{Q(y_i)}{Q(y_j)} < 2\) et \(\frac{Q(y_i)}{Q(y_j)}\) est la puissance \(d\)-ième d'un rationnel pour tous \(i, j\). Comme \(n\) peut être arbitrairement grand, on peut supposer dans la suite que tous les \(x_i\), donc tous les \(y_i\), sont des entiers plus grands qu'une constante absolue.
D'après le théorème de Dirichlet, comme \(d\) est impair, il existe un nombre premier \(p\) arbitrairement grand avec \(p \equiv 2 \pmod d\) ; en particulier \(\operatorname{pgcd}(p - 1, d) = 1\). Pour ce \(p\) fixé, on choisit \(n\) assez grand. Par le principe des tiroirs, \(d + 1\) des \(y_1, \ldots, y_n\) sont congrus modulo \(p\) ; quitte à renuméroter, \(y_i \equiv y_j \pmod p\) pour \(1 \leq i, j \leq d+1\).
Affirmation. \(\dfrac{Q(y_i)}{Q(y_1)} = \dfrac{y_i^d}{y_1^d}\) pour \(2 \leq i \leq d+1\).
Preuve. Écrivons \(\frac{Q(y_i)}{Q(y_1)} = \frac{l^d}{m^d}\) avec \(\operatorname{pgcd}(l, m) = 1\) et \(l, m > 0\). Sous forme développée :
Soit \(c\) le dénominateur commun des coefficients de \(Q\), de sorte que \(cQ(k)\) est entier pour tout entier \(k\). Comme \(c\) ne dépend que de \(P\), on peut supposer \(\operatorname{pgcd}(p, c) = 1\). Alors \(y_1 \equiv y_i \pmod p\) entraîne \(cQ(y_1) \equiv cQ(y_i) \pmod p\) (polynôme à coefficients entiers : \(a - b\) divise \(R(a) - R(b)\)).
Cas 1 : \(p \mid cQ(y_1)\). Alors \(p\) divise aussi \(cQ(y_i)\) et se simplifie dans la fraction \(\frac{cQ(y_i)}{cQ(y_1)}\), donc \(m^d \leq p^{-1}|cQ(y_1)|\). Comme \(|Q(y_1)| < 2By_1^d\) pour \(y_1\) grand,
Pour \(y_1, y_i\) grands, la relation \(\frac12 < \frac{Q(y_i)}{Q(y_1)} < 2\) donne
et on a aussi
Le membre de gauche de (1) vaut
Supposons par l'absurde \(my_i - ly_1 \neq 0\). Alors la valeur absolue de cette expression est au moins \(|b_d|\,m^{d-1}y_i^{d-1}\). D'autre part, la valeur absolue du membre de droite de (1) est au plus
en utilisant successivement (3), (4), (2) puis de nouveau (3). On obtient
ce qui est absurde pour \(p\) grand, puisque \(b_d, B, c, d\) ne dépendent que de \(P\). Donc \(my_i - ly_1 = 0\) dans ce cas.
Cas 2 : \(\operatorname{pgcd}(p, cQ(y_1)) = 1\). De \(cQ(y_1) \equiv cQ(y_i) \pmod p\) on tire \(l^d \equiv m^d \pmod p\). Comme \(\operatorname{pgcd}(p-1, d) = 1\), le petit théorème de Fermat permet de conclure \(l \equiv m \pmod p\). Alors \(p \mid my_i - ly_1\). Supposons par l'absurde \(my_i - ly_1 \neq 0\). Le membre de gauche de (1) a alors une valeur absolue au moins égale à \(|b_d|\,p\,m^{d-1}y_i^{d-1}\). Comme dans le cas 1 (avec cette fois \(m^d \leq |cQ(y_1)|\)), la valeur absolue du membre de droite est au plus
qui est strictement plus petit que \(|b_d|\,p\,m^{d-1}y_i^{d-1}\) pour \(p\) grand. Contradiction encore, donc \(my_i - ly_1 = 0\).
Dans les deux cas, \(\frac{Q(y_i)}{Q(y_1)} = \frac{l^d}{m^d} = \frac{y_i^d}{y_1^d}\). \(\square\)
Conclusion. D'après l'affirmation, le polynôme \(Q(y_1)y^d - y_1^dQ(y)\) admet les racines \(y = y_1, y_2, \ldots, y_{d+1}\). Comme il est de degré au plus \(d\), c'est le polynôme nul. Donc \(Q(y) = b_dy^d\), ce qui donne
Écrivons \(\frac{a_{d-1}}{da_d} = \frac sr\) avec \(r, s\) entiers, \(r \geq 1\) et \(\operatorname{pgcd}(r, s) = 1\). Comme \(P\) est à coefficients entiers (regarder le coefficient constant \(a_ds^d/r^d\)), il faut \(r^d \mid a_d\). En posant \(a_d = r^da\), on obtient \(P(x) = a(rx + s)^d\).
Réciproquement, un tel polynôme convient clairement : \(\frac{P(x_i)}{P(x_j)} = \left(\frac{rx_i + s}{rx_j + s}\right)^d\) est la puissance \(d\)-ième d'un rationnel.
Précision ajoutée : le livret dit seulement que c'est évident ; il suffit par exemple de prendre \(x_i = N + i\) (\(1 \leq i \leq n\)) avec \(N\) assez grand pour que tous les rapports \(\frac{rx_i + s}{rx_j + s}\) soient assez proches de \(1\). \(\blacksquare\)
Remarques¶
Remarque. On peut se passer du nombre premier \(p\) et du théorème de Dirichlet. On montre facilement que chaque \(P(x_i)\) s'écrit \(uv_i^d\) avec \(u, v_i\) entiers, où \(u\) n'est divisible par la puissance \(d\)-ième d'aucun nombre premier (\(u\) ne dépend que de \(P\)). En fixant un grand entier \(q\) et en prenant \(n\) grand, le principe des tiroirs permet de supposer \(x_1 \equiv \cdots \equiv x_{d+1}\) et \(v_1 \equiv \cdots \equiv v_{d+1} \pmod q\) ; la suite est analogue au cas 2.
Autre variante : pour \(n\) grand et \(2 \leq i \leq n\), écrivons \(\frac{Q(y_i)}{Q(y_1)} = \frac{l_i^d}{m_i^d}\). Comme dans le cas 1, s'il y a \(d\) indices pour lesquels les entiers \(\frac{c|Q(y_1)|}{m_i^d}\) sont minorés par une constante convenable ne dépendant que de \(P\), on établit l'affirmation avec ces \(y_i\) et on conclut ; de même, comme dans le cas 2, s'il y a \(d\) indices pour lesquels les entiers \(|m_iy_i - l_iy_1|\) sont minorés de même. Il reste le cas où \(\frac{c|Q(y_1)|}{m_i^d} \leq M\) et \(|m_iy_i - l_iy_1| \leq N\) pour \(2 \leq i \leq n_0\), avec \(M, N\) des constantes et \(n_0\) grand. Il n'y a alors qu'un nombre fini de choix pour \(m_i\) et \(m_iy_i - l_iy_1\) ; par le principe des tiroirs, on peut supposer \(m_i = m\) et \(m_iy_i - l_iy_1 = t\) pour \(2 \leq i \leq d+2\). Alors
donc \(Q(y_1)(my - t)^d - m^dy_1^dQ(y)\), de degré au plus \(d\), a les \(d+1\) racines \(y_2, \ldots, y_{d+2}\) : il est nul, et \(Q(y) = \frac{b_d}{m^d}(my - t)^d\). Comme \(Q\) n'a pas de terme en \(y^{d-1}\), \(t = 0\), ce qui donne la forme voulue de \(P\). Ces deux variantes fonctionnent aussi bien lorsque le degré \(d\) est pair.