Centres du triangle et lemmes classiques¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Chasse aux angles
L'idée¶
Un triangle \(ABC\) a quatre centres principaux. On note \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\), \(s = \frac{a + b + c}{2}\) le demi-périmètre, et \(\alpha, \beta, \gamma\) les angles.
| Centre | Intersection de | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|---|
| Centre de gravité \(G\) | Médianes | Au tiers de chaque médiane, en partant du côté |
| Centre du cercle circonscrit \(O\) | Médiatrices | \(OA = OB = OC = R\), et \(\angle BOC = 2\alpha\) |
| Orthocentre \(H\) | Hauteurs | \(\angle BHC = 180^\circ - \alpha\) (triangle acutangle) |
| Centre du cercle inscrit \(I\) | Bissectrices intérieures | Distance \(r\) aux côtés, et \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\) |
| Centre exinscrit \(I_A\) | Bissectrice intérieure en \(A\), extérieures en \(B\) et \(C\) | Distance \(r_A\) aux trois droites des côtés |
Ce qui rend ces points utiles, ce sont les lemmes classiques qui les relient. Les reconnaître dans une figure fait souvent gagner la moitié du problème.
Le lemme du pôle Sud¶
Lemme (pôle Sud, ou lemme de l'incentre-exincentre)
La bissectrice \((AI)\) recoupe le cercle circonscrit en \(M\), milieu de l'arc \(BC\) qui ne contient pas \(A\). Alors
Autrement dit, \(M\) est le centre du cercle qui passe par \(B\), \(I\), \(C\) et \(I_A\), et \(M\) est le milieu de \([II_A]\).
Le point \(M\) est aussi sur la médiatrice de \([BC]\). C'est pourquoi la bissectrice issue de \(A\) et la médiatrice de \([BC]\) se coupent sur le cercle circonscrit.
L'orthocentre¶
| Fait | Énoncé |
|---|---|
| Symétrique par rapport à un côté | Le symétrique de \(H\) par rapport à \((BC)\) est sur le cercle circonscrit |
| Symétrique par rapport à un milieu | Le symétrique de \(H\) par rapport au milieu de \([BC]\) est le point \(A'\) diamétralement opposé à \(A\) |
| Distance au sommet | \(AH = 2 \, OM_A\), où \(M_A\) est le milieu de \([BC]\) |
| Droite d'Euler | \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés, avec \(GH = 2 \, OG\) |
| Cercle d'Euler | Les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux de \([AH]\), \([BH]\), \([CH]\) sont sur un cercle de rayon \(\frac{R}{2}\), centré au milieu de \([OH]\) |
| Directions isogonales | Dans un triangle acutangle, \(\angle BAH = \angle OAC = 90^\circ - \beta\) : \((AH)\) et \((AO)\) sont symétriques par rapport à la bissectrice |
| Triangle orthique | Dans un triangle acutangle, \(H\) est le centre du cercle inscrit du triangle formé par les pieds des hauteurs |
Le cercle inscrit¶
Les deux tangentes issues d'un même point ont la même longueur. Si le cercle inscrit touche \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\) en \(D\), \(E\), \(F\), alors
Le cercle exinscrit en \(A\) touche \([BC]\) en \(D'\) avec \(CD' = s - b = BD\) : les points \(D\) et \(D'\) sont symétriques par rapport au milieu de \([BC]\).
Conjugués isogonaux et symédianes¶
Deux droites issues de \(A\) sont isogonales si elles sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle \(A\). Si \((AP)\), \((BP)\), \((CP)\) sont concourantes en \(P\), leurs isogonales sont encore concourantes, d'après Ceva trigonométrique (les rapports de sinus s'inversent). Le point obtenu, noté \(P^*\), est le conjugué isogonal de \(P\).
| Point \(P\) | Conjugué isogonal \(P^*\) |
|---|---|
| Orthocentre \(H\) | Centre du cercle circonscrit \(O\) |
| Centre du cercle inscrit \(I\) | Lui-même (de même pour les centres exinscrits) |
| Centre de gravité \(G\) | Point de Lemoine \(K\), intersection des symédianes |
La symédiane issue de \(A\) est l'isogonale de la médiane. Trois faits à connaître :
- elle coupe \([BC]\) en \(K_A\) avec \(\frac{BK_A}{K_AC} = \frac{c^2}{b^2}\) ;
- elle passe par le point d'intersection des tangentes en \(B\) et \(C\) au cercle circonscrit ;
- elle coupe en leur milieu les segments antiparallèles à \((BC)\), comme \([EF]\) où \(E\), \(F\) sont les pieds des hauteurs issues de \(B\) et \(C\) (voir Chasse aux angles).
Triangles podaires. Le triangle podaire de \(P\) a pour sommets les projetés de \(P\) sur les trois côtés. Les triangles podaires de \(P\) et de \(P^*\) ont le même cercle circonscrit, centré au milieu de \([PP^*]\). Pour \(P = H\), \(P^* = O\), on retrouve le cercle d'Euler, qui passe par les pieds des hauteurs et les milieux des côtés.
Le lemme des perpendiculaires¶
Lemme
Le cercle inscrit touche \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\) en \(D\), \(E\), \(F\). Soit \(P\) l'intersection de la bissectrice \((BI)\) et de la droite \((EF)\). Alors \((BP) \perp (CP)\), et \(P\) est sur la droite qui joint les milieux de \([BC]\) et de \([CA]\).
Le point \(P\) est donc le pied de la perpendiculaire abaissée de \(C\) sur la bissectrice issue de \(B\). Ce lemme, peu connu, débloque de nombreux problèmes où l'on voit à la fois le cercle inscrit et des angles droits.
Inégalité d'Euler. La formule \(OI^2 = R^2 - 2Rr\) (voir Puissance d'un point) donne \(R \geq 2r\), avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.
Exemple résolu¶
Problème
Démontrer le lemme du pôle Sud : avec les notations ci-dessus, \(MB = MC = MI = MI_A\).
Étape 1 : \(MB = MC\). \(M\) est sur la bissectrice de l'angle \(A\), donc \(\angle BAM = \angle MAC = \frac{\alpha}{2}\). Ces angles inscrits interceptent les arcs \(BM\) et \(MC\), qui sont donc égaux, ainsi que les cordes : \(MB = MC\).
Étape 2 : l'angle en \(B\). L'angle \(\angle MBC\) intercepte le même arc que \(\angle MAC\), donc \(\angle MBC = \frac{\alpha}{2}\). Comme \((BI)\) est la bissectrice de l'angle \(B\) :
Étape 3 : l'angle en \(I\). L'angle \(\angle MIB\) est un angle extérieur du triangle \(ABI\) :
Le triangle \(MBI\) a deux angles égaux, il est isocèle en \(M\) : \(MB = MI\).
Étape 4 : le centre exinscrit. Les bissectrices intérieure et extérieure en \(B\) sont perpendiculaires, donc \(\angle IBI_A = 90^\circ\). Le point \(I_A\) est sur la bissectrice \((AI)\), donc \(M\) est sur l'hypoténuse \([II_A]\) du triangle rectangle \(IBI_A\), avec \(MB = MI\). Les angles \(\angle MBI\) et \(\angle MIB\) sont égaux, donc leurs compléments aussi : \(\angle MBI_A = \angle MI_AB\), et \(MB = MI_A\).
Conclusion. \(MB = MC = MI = MI_A\), et \(M\) est le milieu de \([II_A]\).
Le réflexe : dès qu'une figure contient \(I\) et le cercle circonscrit, tracer la bissectrice \((AI)\) jusqu'au cercle. Le point \(M\) donne gratuitement des triangles isocèles et un cercle passant par \(B\), \(I\), \(C\).
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé mentionne l'orthocentre, le centre du cercle inscrit ou un centre exinscrit.
- Un cercle passe par \(B\), \(C\) et l'un des centres : \(BHC\), \(BIC\), \(BOC\).
- On voit un milieu d'arc du cercle circonscrit, ou une bissectrice qui recoupe le cercle circonscrit.
- Des points de contact du cercle inscrit avec les côtés apparaissent.
- La figure contient des pieds de hauteurs, ou des milieux de côtés et de \([AH]\).
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| \(I\) et le cercle circonscrit | Lemme du pôle Sud : \(MB = MC = MI = MI_A\) |
| Points de contact du cercle inscrit ou exinscrit | Longueurs de tangentes \(s - a\), \(s - b\), \(s - c\) |
| \(H\) et le cercle circonscrit | Symétriques de \(H\) par rapport aux côtés et aux milieux |
| Pieds des hauteurs | Quadrilatères cycliques (angles droits) et triangle orthique |
| \(O\) et \(H\) ensemble | Directions isogonales, droite d'Euler, \(AH = 2 \, OM_A\) |
| Milieux et pieds de hauteurs | Cercle d'Euler, ou homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\frac{1}{2}\) |
| Médiane, symédiane, tangentes en \(B\) et \(C\) | Isogonales : la symédiane passe par le pôle de \((BC)\) |
| Point défini par des angles égaux de part et d'autre des bissectrices | Conjugué isogonal ; triangles podaires de \(P\) et \(P^*\) sur un même cercle |
| Cercle inscrit, droite \((EF)\) et une bissectrice | Lemme des perpendiculaires : \((BI) \cap (EF)\) est le pied de la perpendiculaire issue de \(C\) |
| Comparer \(R\) et \(r\) | Inégalité d'Euler \(R \geq 2r\), conséquence de \(OI^2 = R^2 - 2Rr\) |
Exercices d'échauffement¶
- Soit \(ABC\) un triangle acutangle. Montrer que \(\angle BAH = \angle OAC = 90^\circ - \angle ABC\).
- Montrer que le symétrique de \(H\) par rapport au milieu \(M_A\) de \([BC]\) est le point \(A'\) diamétralement opposé à \(A\) sur le cercle circonscrit. En déduire \(AH = 2 \, OM_A\). Indication : montrer que \(BHCA'\) est un parallélogramme.
- (Droite d'Euler.) Montrer que \(O\), \(G\) et \(H\) sont alignés, avec \(GH = 2 \, OG\). Indication : utiliser l'exercice 2 et le fait que \(G\) est au tiers de \([AM_A]\), ou l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\frac{1}{2}\).
- Le cercle inscrit touche \([BC]\) en \(D\), et le cercle exinscrit en \(A\) touche \([BC]\) en \(D'\). Montrer que \(BD = CD' = s - b\).
- Soit \(ABC\) un triangle acutangle, et \(D\), \(E\), \(F\) les pieds des hauteurs. Montrer que \(H\) est le centre du cercle inscrit dans \(DEF\). Indication : les quadrilatères \(BDHF\) et \(CDHE\) sont cycliques.
- Soit \(T\) le point d'intersection des tangentes en \(B\) et \(C\) au cercle circonscrit à \(ABC\). Montrer que \((AT)\) est la symédiane issue de \(A\). Indication : avec la loi des sinus dans \(ABT\) et \(ACT\), calculer le rapport dans lequel \((AT)\) coupe \([BC]\).
- Démontrer le lemme des perpendiculaires. Indication : montrer que \(\angle IPE = \angle ICE = \frac{\gamma}{2}\) ; alors \(I\), \(P\), \(C\), \(E\) sont cocycliques et \(\angle IPC = \angle IEC = 90^\circ\).
Centres du triangle dans la shortlist¶
- 2024 G2 : le lemme du pôle Sud donne \(PB = PC = PI\), ce qui place un point sur un segment.
- 2016 G4 : le milieu d'un arc est le centre du cercle passant par \(B\), \(I\), \(C\).
- 2025 G3, solution 3 : les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés sont sur le cercle circonscrit.
- 2023 G5 : un symétrique est l'orthocentre (solution 2), et \((AO)\), \((AH)\) sont isogonales (solution 3).
- 2016 G5 : le centre du cercle d'Euler est sur la médiatrice d'un segment bien choisi.
- 2016 G7 : la relation d'Euler \(OI^2 = R^2 - 2Rr\) donne une longueur qui ne dépend pas du sommet.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 83 à 85 (points remarquables), p. 204 à 219 (orthocentre, cercles inscrit et exinscrit, avec exercices), p. 253 à 258 (conjugués isogonaux et triangles podaires), p. 259 à 263 (symédianes), p. 336 à 338 (cercle inscrit et droites perpendiculaires), p. 398 et 399 (théorèmes de Taylor et de Collings) ; tome 7, p. 30 à 36 (coordonnées barycentriques des points remarquables), p. 227 à 229 (cercle d'Euler), p. 329 à 333 (inégalité d'Euler).
Problèmes de la shortlist¶
67 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,0) · dont 15 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 14 · 2 ★ : 12 · 3 ★ : 10 · 4 ★ : 24 · 5 ★ : 7
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2024 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2023 G1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2021 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2020 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2017 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2016 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2011 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2010 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2022 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2017 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2016 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2014 G3 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2013 G2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G3 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2012 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2009 G1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2008 G1 · OIM P1 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Coordonnées et nombres complexes |
| 2007 G2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2024 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2023 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Inversion |
| 2020 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2020 G6 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2018 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2016 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2014 G5 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2010 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes |
| 2006 G7 | ★★★☆☆ | Homothétie |
| 2024 G6 | ★★★★☆ | Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Homothétie |
| 2024 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Homothétie |
| 2022 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G7 · OIM P3 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2020 G7 | ★★★★☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2020 G8 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion |
| 2019 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2017 G7 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2016 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion |
| 2015 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2014 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes · Ceva et Ménélaüs |
| 2013 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2012 G7 | ★★★★☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Homothétie |
| 2010 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G6 | ★★★★☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G7 | ★★★★☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2008 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2008 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Homothétie |
| 2007 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2022 G8 | ★★★★★ | Puissance d'un point et axe radical · Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G8 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2018 G7 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G8 | ★★★★★ | - |
| 2014 G7 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2009 G8 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |