Shortlist 2006, G1¶

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : South Korea

Concepts : Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 35 (page 36 du PDF)

Problème 1 de l'OIM 2006

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2006, où il était le problème 1 (jour 1).

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé¶

Let \(ABC\) be a triangle with incentre \(I\). A point \(P\) in the interior of the triangle satisfies

\[\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB.\]

Show that \(AP \geq AI\) and that equality holds if and only if \(P\) coincides with \(I\).

Indices : les idées clés

Chasse aux angles : la condition équivaut à \(\angle BPC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = \angle BIC\), donc \(P\) est sur le cercle \(BCI\).
Pôle Sud : le centre de ce cercle est le milieu \(M\) de l'arc \(BC\), sur la bissectrice \(AI\).
Inégalité triangulaire : \(AP + PM \geq AM = AI + IM = AI + PM\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution). C'est le problème 1 de l'OIM 2006.

Solution¶

Posons \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\), \(\angle C = \gamma\). Comme \(\angle PBA + \angle PCA + \angle PBC + \angle PCB = \beta + \gamma\), la condition de l'énoncé équivaut à \(\angle PBC + \angle PCB = (\beta + \gamma)/2\), c'est-à-dire \(\angle BPC = 90^\circ + \alpha/2\).

D'autre part, \(\angle BIC = 180^\circ - (\beta + \gamma)/2 = 90^\circ + \alpha/2\). Donc \(\angle BPC = \angle BIC\), et comme \(P\) et \(I\) sont du même côté de \(BC\), les points \(B\), \(C\), \(I\) et \(P\) sont cocycliques. Autrement dit, \(P\) est sur le cercle circonscrit \(\omega\) au triangle \(BCI\).

Figure (solution)

Soit \(\Omega\) le cercle circonscrit au triangle \(ABC\). On sait bien que le centre de \(\omega\) est le milieu \(M\) de l'arc \(BC\) de \(\Omega\). C'est aussi le point où la bissectrice \(AI\) recoupe \(\Omega\).

Dans le triangle \(APM\), on a

\[AP + PM \geq AM = AI + IM = AI + PM.\]

Donc \(AP \geq AI\). L'égalité a lieu si et seulement si \(P\) est sur le segment \(AI\), ce qui se produit si et seulement si \(P = I\). \(\blacksquare\)