Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Chasse aux angles, Ceva et Ménélaüs
L'idée¶
Quand la chasse aux angles ne suffit plus, on calcule. La trigonométrie convertit les angles en longueurs et inversement. Dans un triangle \(ABC\), on note \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\), \(\alpha, \beta, \gamma\) les angles, \(R\) le rayon du cercle circonscrit.
| Formule | Énoncé |
|---|---|
| Loi des sinus | \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\) |
| Loi des cosinus (Al-Kashi) | \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\) |
| Aire | \([ABC] = \frac{1}{2} bc \sin \alpha = \frac{abc}{4R}\) |
| Longueur d'une corde | Une corde qui intercepte un angle inscrit \(\theta\) mesure \(2R \sin \theta\) |
La loi des sinus dit que, dans un même cercle, les longueurs des cordes sont proportionnelles aux sinus des angles inscrits. C'est elle qui sert le plus en olympiade.
Le lemme du rapport¶
Si \(D\) est sur \([BC]\), la loi des sinus dans \(ABD\) et dans \(ADC\) donne (les sinus des angles en \(D\) sont égaux car ces angles sont supplémentaires) :
Pour une bissectrice, on retrouve \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\) : c'est le théorème de la bissectrice.
Ceva trigonométrique¶
Théorème (Ceva trigonométrique)
Soient \(D\), \(E\), \(F\) sur les côtés \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). Les droites \((AD)\), \((BE)\), \((CF)\) sont concourantes si et seulement si
Il se déduit de Ceva par le lemme du rapport : les côtés \(AB\), \(BC\), \(CA\) apparaissent chacun une fois au numérateur et une fois au dénominateur, et se simplifient. On l'utilise quand les données sont des angles plutôt que des longueurs.
Formules utiles dans le triangle¶
En notant \(s\) le demi-périmètre et \(r\) le rayon du cercle inscrit :
| Quantité | Formule |
|---|---|
| Aire | \([ABC] = rs\) |
| Rayon du cercle inscrit | \(r = 4R \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\) |
| Longueur de tangente | \(s - a = \frac{r}{\tan(\alpha/2)}\) |
| Somme des cosinus | \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + \frac{r}{R}\) |
| Distance de l'orthocentre | \(AH = 2R \lvert \cos \alpha \rvert\) |
Inégalités et extremums¶
La trigonométrie transforme une inégalité géométrique en une inégalité sur les angles, avec la contrainte \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
- Convexité. La fonction \(\sin\) est concave sur \([0, \pi]\), donc par Jensen \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\), avec égalité pour le triangle équilatéral.
- Euler. Avec la somme des cosinus, \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{3}{2}\) équivaut à \(R \geq 2r\).
- Erdős-Mordell. Si \(P\) est intérieur au triangle, de distances \(d_a\), \(d_b\), \(d_c\) aux côtés, alors \(PA + PB + PC \geq 2(d_a + d_b + d_c)\). Le cœur de la preuve est l'inégalité \(a \cdot PA \geq b \, d_c + c \, d_b\), obtenue en remplaçant \(P\) par son symétrique par rapport à la bissectrice en \(A\) ; on somme ensuite et on utilise \(\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2\).
Exemple résolu¶
Problème (conjugué isogonal)
Soit \(P\) un point intérieur au triangle \(ABC\). On réfléchit la droite \((AP)\) par rapport à la bissectrice de l'angle \(A\), et de même \((BP)\) et \((CP)\) par rapport aux bissectrices en \(B\) et \(C\). Montrer que les trois droites obtenues sont concourantes.
Étape 1 : traduire la symétrie. La symétrie par rapport à la bissectrice en \(A\) échange les demi-droites \([AB)\) et \([AC)\). La droite réfléchie \(d_A\) fait donc avec \([AB)\) l'angle que \((AP)\) fait avec \([AC)\) :
Étape 2 : écrire Ceva trigonométrique pour \(P\). Les droites \((AP)\), \((BP)\), \((CP)\) sont concourantes en \(P\), donc
Étape 3 : le produit pour les droites réfléchies. D'après l'étape 1, pour \(d_A\), \(d_B\), \(d_C\) chaque rapport de sinus est l'inverse du rapport correspondant pour \(P\). Le produit vaut donc \(\frac{1}{1} = 1\).
Conclusion. Par la réciproque de Ceva trigonométrique, \(d_A\), \(d_B\), \(d_C\) sont concourantes. Leur point commun \(Q\) est le conjugué isogonal de \(P\).
Exemples à connaître : \(I\) est son propre conjugué isogonal ; \(O\) et \(H\) sont conjugués isogonaux (voir Centres du triangle) ; le conjugué du centre de gravité est le point de Lemoine, intersection des symédianes.
Le réflexe : quand les hypothèses portent sur des angles et la conclusion sur une concourance, penser à Ceva trigonométrique.
Comment le reconnaître¶
- Les données sont des angles et la conclusion porte sur des longueurs ou des rapports, ou l'inverse.
- Plusieurs cordes d'un même cercle apparaissent : leurs longueurs sont proportionnelles aux sinus.
- On doit montrer une concourance à partir d'égalités d'angles.
- Des bissectrices ou des droites isogonales (symétriques par rapport à une bissectrice).
- Une approche synthétique semble introuvable : un calcul trigonométrique bien mené conclut toujours, au prix d'un peu d'algèbre.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Rapport \(\frac{BD}{DC}\) pour une cévienne | Lemme du rapport |
| Cordes d'un même cercle | Longueur \(= 2R \sin(\text{angle inscrit})\) |
| Concourance à partir d'angles | Ceva trigonométrique |
| Droites isogonales | Les rapports de sinus s'inversent |
| Un angle inconnu \(x\) défini par une condition | Écrire une équation en \(x\) par la loi des sinus, puis la résoudre avec les formules d'addition |
| Égalité de distances à une droite | Distance $= $ longueur \(\times \sin(\text{angle})\) |
| Relier \(r\), \(R\) et les angles | \(r = 4R \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\), \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + \frac{r}{R}\) |
| Inégalité symétrique sur les angles d'un triangle | Convexité (Jensen) ou regroupement de deux angles |
| Point intérieur et distances aux côtés | Erdős-Mordell |
Exercices d'échauffement¶
- Montrer que \(\frac{a}{\sin \alpha} = 2R\). Indication : tracer le diamètre issu de \(B\) et utiliser un angle inscrit.
- Démontrer le théorème de la bissectrice avec la loi des sinus.
- Montrer que l'aire du triangle vaut \(\frac{abc}{4R}\).
- La symédiane issue de \(A\) est la symétrique de la médiane par rapport à la bissectrice. Elle coupe \([BC]\) en \(K\). Montrer que \(\frac{BK}{KC} = \frac{c^2}{b^2}\). Indication : lemme du rapport, deux fois.
- Montrer avec Ceva trigonométrique que les hauteurs d'un triangle acutangle sont concourantes. Indication : \(\angle BAD = 90^\circ - \beta\).
- Montrer que \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{3}{2}\), puis en déduire \(R \geq 2r\). Indication : avec \(x = \sin \frac{\gamma}{2}\), on a \(\cos \alpha + \cos \beta \leq 2x\) et \(\cos \gamma = 1 - 2x^2\).
- (Erdős-Mordell.) Démontrer l'inégalité \(a \cdot PA \geq b \, d_c + c \, d_b\), puis l'inégalité d'Erdős-Mordell. Indication : pour le symétrique \(P'\) de \(P\) par rapport à la bissectrice en \(A\), comparer \(a \cdot AP'\) à deux fois l'aire du quadrilatère \(ABP'C\).
Trigonométrie dans la shortlist¶
- 2024 G1, solution 1 : la loi des sinus montre que deux points sont à la même distance d'une droite, d'où un parallélisme.
- 2019 G2 : longueur d'une corde \(2r \sin \varphi\), puis loi des sinus dans un triangle.
- 2018 G6, solution 2 : la loi des sinus ramène le problème à deux égalités de rapports.
- 2023 G3, solution 2 : un alignement se traduit par une égalité de rapports de distances, calculés par la trigonométrie.
- 2016 G6, solution 3 : une identité entre tangentes ramène le problème à un calcul.
- 2024 G8, solution 3 : Ceva trigonométrique pour montrer qu'une droite variable passe par un point fixe.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 103 à 105 (trigonométrie de base), p. 127 à 140 (relations et calculs trigonométriques), p. 141 à 145 (extremums et trigonométrie), p. 146 à 157 (loi des sinus, Céva et Ménélaüs trigonométriques), p. 158 à 162 (problèmes de géométrie plane) ; tome 7, p. 322 à 328 (convexité et trigonométrie), p. 329 à 333 (inégalité d'Euler), p. 382 à 391 (théorème d'Erdős-Mordell et généralisations).
Problèmes de la shortlist¶
24 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,9) · dont 4 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 3 · 2 ★ : 5 · 3 ★ : 8 · 4 ★ : 7 · 5 ★ : 1
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2024 G1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2019 G2 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2016 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2019 G4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes |
| 2013 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2012 G3 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2023 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion |
| 2021 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2016 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes |
| 2014 G4 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion |
| 2014 G5 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2010 G3 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2010 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G3 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Ceva et Ménélaüs |
| 2021 G7 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion |
| 2018 G6 · OIM P6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2012 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2009 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |