Ceva et Ménélaüs¶

Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Triangles semblables

L'idée¶

Deux théorèmes jumeaux transforment une question de position (trois droites concourantes, trois points alignés) en un calcul de rapports. Soit \(ABC\) un triangle et \(D\), \(E\), \(F\) des points des droites \((BC)\), \((CA)\), \((AB)\), distincts des sommets. On utilise des mesures algébriques : \(\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\) est négatif si \(D\) est entre \(B\) et \(C\), positif sinon.

À gauche, trois céviennes concourantes ; à droite, une droite qui coupe les trois côtés

Les deux théorèmes

Ceva. Les droites \((AD)\), \((BE)\), \((CF)\) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si

\[\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = -1.\]

Ménélaüs. Les points \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés si et seulement si

\[\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1.\]

Le produit est le même : on fait le tour du triangle \(A \to B \to C \to A\). Seul le signe change. Quand les trois points sont sur les côtés, Ceva s'écrit sans signe : \(\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1\). Pour Ménélaüs, une droite coupe toujours zéro ou deux côtés à l'intérieur, jamais un seul ni trois.

Pourquoi Ménélaüs. Soient \(h_A\), \(h_B\), \(h_C\) les distances de \(A\), \(B\), \(C\) à la droite. Par Thalès, \(\frac{DB}{DC} = \frac{h_B}{h_C}\), \(\frac{EC}{EA} = \frac{h_C}{h_A}\) et \(\frac{FA}{FB} = \frac{h_A}{h_B}\) ; le produit vaut \(1\).

Pourquoi Ceva. Si les céviennes se coupent en \(P\), les triangles \(ABD\) et \(ACD\) ont la même hauteur, de même que \(PBD\) et \(PCD\), donc \(\frac{BD}{DC} = \frac{[ABP]}{[ACP]}\) (où \([\cdot]\) désigne l'aire). Le produit des trois rapports se simplifie en \(1\).

Les réciproques sont les parties utiles : pour la réciproque de Ceva, on prend \(P = (BE) \cap (CF)\) et \(D' = (AP) \cap (BC)\) ; le théorème direct donne le même rapport pour \(D\) et \(D'\), donc \(D = D'\). Même argument pour Ménélaüs.

La version trigonométrique de Ceva, avec des sinus d'angles au lieu de rapports de longueurs, est souvent plus pratique quand les données sont des angles.

Le théorème de Carnot¶

C'est le « Ceva des perpendiculaires » : il dit quand les perpendiculaires aux côtés sont concourantes.

Théorème de Carnot

Soient \(D\), \(E\), \(F\) des points des droites \((BC)\), \((CA)\), \((AB)\). Les perpendiculaires à \((BC)\) en \(D\), à \((CA)\) en \(E\) et à \((AB)\) en \(F\) sont concourantes si et seulement si

\[BD^2 - DC^2 + CE^2 - EA^2 + AF^2 - FB^2 = 0.\]

Pourquoi. Si les perpendiculaires passent par \(O\), Pythagore dans \(OBD\) et \(OCD\) donne \(BD^2 - DC^2 = OB^2 - OC^2\). Les trois différences analogues se télescopent et leur somme est nulle. Pour la réciproque, on procède comme pour Ceva : sur la droite \((AB)\), un seul point \(F\) donne une valeur fixée à \(AF^2 - FB^2\).

Avec \(D\), \(E\), \(F\) aux milieux des côtés, on retrouve le concours des médiatrices ; avec les pieds des hauteurs, celui des hauteurs.

La boîte à outils : alignement et concours¶

Ceva et Ménélaüs ne sont qu'un outil parmi d'autres. Avant de se lancer dans un calcul, on passe en revue les méthodes classiques.

Pour montrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés :

Montrer que \(\angle ABC = 180^\circ\), en découpant cet angle en angles connus.
Montrer que deux angles formés en \(B\) avec une même droite sont opposés par le sommet.
Montrer que \((AB)\) et \((BC)\) sont parallèles (ou perpendiculaires) à une même droite.
Appliquer la réciproque de Ménélaüs dans un triangle bien choisi.
Montrer que les trois points vérifient une propriété qui définit une droite : même puissance par rapport à deux cercles (axe radical), équidistance de deux points (médiatrice), droite d'Euler, droite de Simson, polaire d'un point.
Calculer : aire \([ABC]\) nulle, vecteurs colinéaires, déterminant nul en coordonnées.

Pour montrer que \((d_1)\), \((d_2)\), \((d_3)\) sont concourantes :

Se ramener à un alignement : le point \((d_1) \cap (d_2)\) est aligné avec deux points de \((d_3)\).
Montrer que \((d_1) \cap (d_2)\) et \((d_1) \cap (d_3)\) coïncident, souvent en calculant leur position sur \((d_1)\).
Reconnaître les trois droites comme les hauteurs, médianes, bissectrices ou médiatrices d'un triangle, éventuellement auxiliaire.
Appliquer Ceva, sous forme de rapports de longueurs ou de sinus.
Appliquer Carnot pour des perpendiculaires aux côtés.
Les identifier comme les trois axes radicaux de trois cercles (voir Puissance d'un point).

Exemple résolu¶

Problème

Soit \(ABC\) un triangle dont les trois côtés sont de longueurs différentes. Les bissectrices extérieures en \(A\), \(B\), \(C\) recoupent les droites \((BC)\), \((CA)\), \((AB)\) en \(D\), \(E\), \(F\). Montrer que \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés.

Étape 1 : les points existent. La bissectrice extérieure en \(A\) est parallèle à \((BC)\) seulement si \(AB = AC\). Comme les côtés sont différents, \(D\), \(E\), \(F\) existent.

Étape 2 : le théorème de la bissectrice. La bissectrice extérieure en \(A\) partage \([BC]\) extérieurement dans le rapport des côtés adjacents : \(\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}\), et \(D\) est hors du segment \([BC]\). En mesures algébriques :

\[\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} = \frac{c}{b}, \qquad \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} = \frac{a}{c}, \qquad \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = \frac{b}{a}.\]

Étape 3 : le produit.

\[\frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} = 1.\]

Conclusion. Par la réciproque de Ménélaüs, \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés.

Le même calcul avec les bissectrices intérieures donne trois rapports négatifs, de produit \(-1\) : c'est la preuve par Ceva que les bissectrices sont concourantes. Le réflexe : dès que l'on connaît les rapports dans lesquels des points partagent les côtés, Ceva et Ménélaüs concluent en une ligne.

Comment le reconnaître¶

On doit montrer que trois droites issues des sommets d'un triangle sont concourantes.
On doit montrer que trois points situés sur les côtés (ou leurs prolongements) sont alignés.
Les données sont des rapports de longueurs, des longueurs de tangentes, ou des points qui partagent des segments.
Une droite traverse une figure et coupe plusieurs côtés : Ménélaüs donne un rapport inconnu à partir des autres.
On a des bissectrices, des points de contact de cercles inscrits ou exinscrits.

Techniques classiques¶

Situation	Technique
Trois céviennes concourantes	Réciproque de Ceva, avec les rapports en jeu
Trois points alignés sur les côtés	Réciproque de Ménélaüs
Calculer un rapport sur une droite qui traverse un triangle	Ménélaüs dans un triangle bien choisi
Données angulaires	Ceva trigonométrique
Points de contact du cercle inscrit ou exinscrit	Rapports \(\frac{s - b}{s - c}\), etc.
Ménélaüs dans deux triangles voisins	Diviser les deux égalités pour éliminer un rapport commun
Perpendiculaires aux côtés à rendre concourantes	Carnot : la somme alternée des carrés est nulle
Alignement ou concours sans rapports connus	Passer en revue la boîte à outils : angles, parallèles, propriété caractéristique, axes radicaux

Exercices d'échauffement¶

Montrer avec Ceva que les médianes d'un triangle sont concourantes.
(Point de Gergonne.) Le cercle inscrit touche \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\) en \(D\), \(E\), \(F\). Montrer que \((AD)\), \((BE)\), \((CF)\) sont concourantes.
(Point de Nagel.) Les cercles exinscrits touchent \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\) en \(D'\), \(E'\), \(F'\). Montrer que \((AD')\), \((BE')\), \((CF')\) sont concourantes. Indication : \(BD' = s - c\) et \(CD' = s - b\).
Montrer avec Ceva que les hauteurs d'un triangle acutangle sont concourantes. Indication : \(BD = c \cos B\).
Une droite coupe \([AB]\) en \(F\), \([AC]\) en \(E\) et la droite \((BC)\) en \(D\), avec \(\frac{AF}{FB} = 2\) et \(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}\). Calculer \(\frac{DB}{DC}\) et dire de quel côté de \([BC]\) se trouve \(D\).
(Carnot.) Retrouver avec le théorème de Carnot le concours des médiatrices, puis celui des hauteurs. Indication : pour les hauteurs, \(BD^2 - DC^2 = AB^2 - AC^2\).
Les perpendiculaires aux côtés en \(D\), \(E\), \(F\) sont concourantes. Soient \(D'\), \(E'\), \(F'\) les symétriques de \(D\), \(E\), \(F\) par rapport aux milieux des côtés. Montrer que les perpendiculaires aux côtés en \(D'\), \(E'\), \(F'\) sont aussi concourantes. Indication : Carnot ; \(BD' = DC\) et \(D'C = BD\).

Ceva et Ménélaüs dans la shortlist¶

2025 G6, solution 2 : la réciproque de Ménélaüs donne l'alignement de trois points.
2023 G6, solution 1 : Ménélaüs, appliqué aux triangles \(ABD\) et \(ACD\), montre qu'un point est sur \((AD)\).
2015 G5, solution 2 : Ménélaüs donne un alignement, puis Ceva un parallélisme.
2019 G6 : Ceva et Ménélaüs ensemble produisent une division harmonique (voir Outils projectifs).
2015 G7, solutions 2 et 3 : le résultat se ramène à une égalité de rapports, obtenue par Ménélaüs.

Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 91 à 97 (théorèmes de Carnot, de Céva et de Ménélaüs), p. 146 à 157 (versions trigonométriques), p. 193 à 203 (Céva et Ménélaüs, avec exemples), p. 220 à 237 (sept méthodes pour montrer un alignement, avec exercices), p. 238 à 252 (six méthodes pour montrer un concours, avec exercices), p. 357 à 360 (retour sur Céva et Ménélaüs).

Problèmes de la shortlist¶

14 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,4) · dont 1 choisi pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 0 · 2 ★ : 3 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 6 · 5 ★ : 1

Problème	Difficulté	Concepts
2014 G2	★★☆☆☆	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2006 G2	★★☆☆☆	Homothétie · Puissance d'un point et axe radical
2006 G3	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes
2015 G5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2010 G4 · OIM P2	★★★☆☆	Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques
2009 G3	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2006 G6	★★★☆☆	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2025 G6	★★★★☆	Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes
2023 G6	★★★★☆	Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2019 G6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2015 G7	★★★★☆	Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes
2014 G6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes
2011 G6	★★★★☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2012 G8	★★★★★	Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion