Chasse aux angles et quadrilatères cycliques¶
Domaine : Géométrie · Niveau : débutant · Prérequis : aucun
L'idée¶
La chasse aux angles consiste à calculer des angles de proche en proche, à partir des angles donnés, jusqu'à obtenir l'égalité voulue. C'est l'outil de base de la géométrie olympique : presque toutes les solutions de la shortlist en contiennent une étape.
Le moteur est le théorème de l'angle inscrit : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, et un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre correspondant. On s'en sert surtout dans l'autre sens, pour montrer que quatre points sont cocycliques.
Les critères de cocyclicité¶
Quatre points \(A, B, C, D\) sont sur un même cercle si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée.
| Critère | Énoncé |
|---|---|
| Même côté | \(C\) et \(D\) sont du même côté de \((AB)\) et \(\angle ACB = \angle ADB\) |
| Côtés opposés | \(ABCD\) est un quadrilatère convexe et \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) |
| Angles droits | \(\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ\) : \(C\) et \(D\) sont sur le cercle de diamètre \([AB]\) |
| Angle extérieur | L'angle extérieur en \(A\) est égal à l'angle intérieur en \(C\) |
L'angle tangentiel¶
L'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle inscrit qui intercepte la même corde : si \((TX)\) est tangente en \(T\) au cercle circonscrit à \(TAB\), alors \(\angle XTA = \angle TBA\) (avec \(X\) et \(B\) de part et d'autre de \((TA)\)). La réciproque permet de montrer qu'une droite est tangente à un cercle.
Trois angles à connaître¶
Dans un triangle \(ABC\) d'angles \(\alpha, \beta, \gamma\), d'orthocentre \(H\) et de centre du cercle inscrit \(I\) (triangle acutangle pour \(H\)) :
Les angles orientés¶
Une chasse aux angles dépend souvent de la figure : un point est-il dedans ou dehors, deux points sont-ils du même côté ? Pour écrire une preuve valable dans toutes les configurations, on utilise les angles orientés de droites \(\measuredangle(\ell, m)\), définis modulo \(180^\circ\). Avec eux, le critère devient uniforme :
et la relation de Chasles \(\measuredangle(\ell, m) + \measuredangle(m, n) = \measuredangle(\ell, n)\) remplace les sommes d'angles faites « à vue ».
La droite de Simson¶
Théorème (droite de Simson)
Soient \(ABC\) un triangle et \(P\) un point du plan. Les projetés orthogonaux de \(P\) sur les droites \((BC)\), \((CA)\), \((AB)\) sont alignés si et seulement si \(P\) est sur le cercle circonscrit à \(ABC\).
La preuve est une chasse aux angles orientés dans les quadrilatères cycliques créés par les angles droits (exercice 5). La réciproque est aussi utile que le sens direct : un alignement de trois projetés place un point sur un cercle.
Les droites antiparallèles¶
Soit un angle de sommet \(A\). Une droite coupe \((AB)\) en \(X\) et \((AC)\) en \(Y\). On dit que \((XY)\) est antiparallèle à \((BC)\) si \(\angle AXY = \angle ACB\) : c'est la symétrique d'une parallèle à \((BC)\) par rapport à la bissectrice en \(A\).
Antiparallèle et cocyclicité
\((XY)\) est antiparallèle à \((BC)\) si et seulement si \(B\), \(C\), \(Y\), \(X\) sont cocycliques. Les triangles \(AXY\) et \(ACB\) sont alors semblables, de sens contraires.
Exemples à reconnaître :
- si \(E\) et \(F\) sont les pieds des hauteurs issues de \(B\) et \(C\), la droite \((EF)\) est antiparallèle à \((BC)\) ;
- la tangente en \(A\) au cercle circonscrit est antiparallèle à \((BC)\) (angle tangentiel) ;
- donc \((EF)\) est parallèle à la tangente en \(A\), et \((AO) \perp (EF)\).
Exemple résolu¶
Problème (théorème de Miquel)
Soit \(ABC\) un triangle, et \(D\), \(E\), \(F\) des points des côtés \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). Montrer que les cercles circonscrits aux triangles \(AEF\), \(BFD\) et \(CDE\) ont un point commun.
Étape 1 : définir le point. Les cercles \(AEF\) et \(BFD\) passent tous deux par \(F\). Soit \(M\) leur second point d'intersection. Il suffit de montrer que \(C, D, M, E\) sont cocycliques. On traite la figure ci-dessus, où \(M\) est à l'intérieur du triangle.
Étape 2 : lire les deux premiers cercles. Notons \(\alpha, \beta, \gamma\) les angles du triangle. Le quadrilatère \(AFME\) est inscrit, donc ses angles opposés sont supplémentaires :
De même, \(BDMF\) est inscrit, donc \(\angle FMD = 180^\circ - \beta\).
Étape 3 : faire le tour de \(M\). Les trois angles autour de \(M\) font \(360^\circ\) :
Conclusion. Dans le quadrilatère \(CDME\), les angles opposés en \(M\) et en \(C\) sont supplémentaires : il est inscrit, et le cercle \(CDE\) passe par \(M\).
Avec les angles orientés, la preuve couvre aussi le cas où \(M\) est hors du triangle, en une ligne :
Les deux égalités du milieu sont les cercles \(BDMF\) et \(AFME\). La dernière est la relation de Chasles, puisque les droites \((BD)\), \((BF) = (AF)\) et \((AE)\) sont \((BC)\), \((AB)\) et \((AC)\) : \(\measuredangle(BC, AB) + \measuredangle(AB, AC) = \measuredangle(BC, AC)\).
Le réflexe : pour montrer qu'un point est sur un troisième cercle, le définir comme intersection des deux premiers, puis vérifier le troisième par une chasse aux angles.
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé demande de montrer que quatre points sont cocycliques, que deux angles sont égaux, ou que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires.
- La figure contient un cercle circonscrit, des cercles qui se coupent, ou des angles droits (hauteurs, pieds de perpendiculaires).
- On doit montrer qu'une droite est tangente à un cercle, ou que deux cercles sont tangents.
- Trois cercles, ou trois droites, semblent passer par un même point.
- L'énoncé donne des égalités de longueurs qui créent des triangles isocèles.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Montrer que quatre points sont cocycliques | Un des critères : même angle sur une corde, angles opposés supplémentaires, deux angles droits |
| Pieds de hauteurs ou de perpendiculaires | Chaque angle droit place un point sur un cercle de diamètre connu |
| Montrer qu'une droite est tangente à un cercle | Réciproque de l'angle tangentiel |
| Trois cercles concourants | Définir le point sur deux cercles, puis chasser les angles vers le troisième (Miquel) |
| Le résultat dépend de la position des points | Angles orientés de droites modulo \(180^\circ\) |
| Beaucoup d'angles inconnus | Tout exprimer en fonction de deux ou trois angles, souvent ceux du triangle |
| Un point et ses projetés sur les trois côtés | Droite de Simson : alignement si et seulement si le point est sur le cercle circonscrit |
| Une droite qui coupe les deux côtés d'un angle | Antiparallèle à la base si et seulement si quatre points sont cocycliques |
Exercices d'échauffement¶
- Soit \(ABC\) un triangle acutangle d'orthocentre \(H\). Montrer que \(\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC\).
- Dans le même triangle, montrer que le symétrique de \(H\) par rapport à \((BC)\) est sur le cercle circonscrit à \(ABC\).
- Soit \(I\) le centre du cercle inscrit dans \(ABC\). Montrer que \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle BAC\).
- Deux cercles se coupent en \(P\) et \(Q\). Une droite passant par \(P\) recoupe les cercles en \(A\) et \(B\). Montrer que l'angle \(\angle AQB\) ne dépend pas de la droite choisie.
- (Droite de Simson.) Soit \(P\) un point du cercle circonscrit à \(ABC\). Montrer que les pieds des perpendiculaires abaissées de \(P\) sur les droites \((BC)\), \((CA)\), \((AB)\) sont alignés. Indication : les angles droits donnent des quadrilatères cycliques ; utiliser les angles orientés.
- Soit \(ABC\) un triangle acutangle, de centre du cercle circonscrit \(O\), et \(E\), \(F\) les pieds des hauteurs issues de \(B\) et \(C\). Montrer que \((AO) \perp (EF)\). Indication : \((EF)\) est antiparallèle à \((BC)\), comme la tangente en \(A\).
- Soit \(P\) un point du cercle circonscrit à \(ABC\). Montrer que la droite de Simson de \(P\) est parallèle à \((AQ)\), où \(Q\) est le second point d'intersection de la perpendiculaire à \((BC)\) issue de \(P\) avec le cercle circonscrit.
Chasse aux angles dans la shortlist¶
- 2015 G1 : les angles droits en \(B\) et \(H\) rendent \(BGCH\) cyclique, puis un second cercle conclut.
- 2018 G2 : les angles droits donnent deux cercles, puis une égalité d'angles en donne un troisième.
- 2024 G2 : deux quadrilatères inscriptibles ramènent la somme d'angles demandée à celle des angles d'un triangle.
- 2021 G1 : les longueurs égales donnent des triangles isocèles, et le point clé est une cocyclicité.
- 2019 G8 : le théorème de Miquel fournit un point commun à trois cercles.
- 2018 G7 : toute la preuve est un calcul d'angles orientés entre droites.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 98 à 111 (cercles et angles, cercles et tangentes, chasse aux angles), p. 112 (droite de Simson), p. 113 à 115 (droites antiparallèles), p. 267 à 290 (propriétés des cercles, droites et cercles, droite de Simson), p. 291 à 301 (quadrilatères inscriptibles, avec exercices), p. 330 à 335 (tangente à un cercle) ; tome 7, p. 150 à 170 (quadrilatère cyclique).
Problèmes de la shortlist¶
108 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,7) · dont 25 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 26 · 2 ★ : 26 · 3 ★ : 24 · 4 ★ : 23 · 5 ★ : 9
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 G1 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2024 G1 | ★☆☆☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2024 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2023 G1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2023 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2022 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2022 G2 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2021 G1 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2020 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2020 G2 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2019 G1 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2018 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2018 G2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2017 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2017 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2016 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2014 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2013 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2012 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2011 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2010 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2007 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2006 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2025 G3 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2024 G3 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Puissance d'un point et axe radical |
| 2024 G4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G3 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2023 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Triangles semblables et similitudes |
| 2022 G3 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2022 G4 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2021 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2020 G3 | ★★☆☆☆ | - |
| 2019 G3 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2017 G3 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2016 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G3 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Inversion · Puissance d'un point et axe radical |
| 2014 G3 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2013 G2 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2013 G3 | ★★☆☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2012 G3 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2012 G4 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2010 G2 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2009 G1 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2008 G2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2007 G2 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2007 G3 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2007 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2006 G4 | ★★☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2025 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2025 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Coordonnées et nombres complexes |
| 2024 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2023 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion |
| 2022 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2021 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2020 G6 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2019 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2018 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2018 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2017 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2016 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs |
| 2014 G4 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Inversion |
| 2014 G5 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2013 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2013 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes |
| 2011 G3 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2011 G4 | ★★★☆☆ | Homothétie · Puissance d'un point et axe radical |
| 2011 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2010 G3 | ★★★☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2010 G5 | ★★★☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2008 G3 | ★★★☆☆ | Homothétie · Puissance d'un point et axe radical |
| 2006 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes |
| 2025 G6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes |
| 2023 G6 | ★★★★☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2022 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion |
| 2021 G7 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2020 G7 | ★★★★☆ | Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2020 G8 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion |
| 2019 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2019 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2017 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2016 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2014 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes · Ceva et Ménélaüs |
| 2013 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2011 G6 | ★★★★☆ | Ceva et Ménélaüs · Puissance d'un point et axe radical |
| 2011 G7 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Coordonnées et nombres complexes |
| 2010 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2009 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2008 G6 | ★★★★☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2006 G8 | ★★★★☆ | Coordonnées et nombres complexes |
| 2006 G9 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2023 G8 · OIM P6 | ★★★★★ | Puissance d'un point et axe radical |
| 2022 G8 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2021 G8 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2019 G8 | ★★★★★ | Principe des tiroirs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2018 G7 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2014 G7 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2011 G8 · OIM P6 | ★★★★★ | Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2009 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |