Inversion

Domaine : Géométrie · Niveau : avancé · Prérequis : Puissance d'un point, Triangles semblables

L'idée

L'inversion de centre \(O\) et de rayon \(r\) envoie chaque point \(M \neq O\) sur le point \(M'\) de la demi-droite \([OM)\) tel que

\[OM \cdot OM' = r^2.\]

Les points du cercle d'inversion sont fixes, l'intérieur et l'extérieur sont échangés, et appliquer deux fois l'inversion redonne le point de départ. Son intérêt : elle transforme des cercles en droites, et une figure pleine de cercles en une figure de droites, souvent beaucoup plus simple.

Ce que devient chaque objet

Objet de départ	Image
Droite passant par \(O\)	Elle-même
Droite ne passant pas par \(O\)	Cercle passant par \(O\)
Cercle passant par \(O\)	Droite ne passant pas par \(O\), parallèle à la tangente en \(O\)
Cercle ne passant pas par \(O\)	Cercle ne passant pas par \(O\) (mais le centre n'est pas envoyé sur le centre)
Cercle orthogonal au cercle d'inversion	Lui-même

L'inversion conserve les angles entre courbes (en valeur absolue) et donc les tangences. Deux cercles tangents en \(O\) deviennent deux droites parallèles.

La formule des distances

Pour deux points \(A\), \(B\) d'images \(A'\), \(B'\), les triangles \(OAB\) et \(OB'A'\) sont semblables (car \(\frac{OA'}{OB} = \frac{OB'}{OA}\), avec l'angle commun en \(O\)). On en déduit

\[A'B' = \frac{r^2 \cdot AB}{OA \cdot OB}.\]

L'inversion \(\sqrt{bc}\)

Dans un triangle \(ABC\), on compose l'inversion de centre \(A\) et de rayon \(\sqrt{AB \cdot AC}\) avec la symétrie par rapport à la bissectrice de l'angle \(A\). Cette transformation échange \(B\) et \(C\), et échange le cercle circonscrit et la droite \((BC)\). Elle apparaît dans plusieurs problèmes récents de la shortlist.

Angles et cercles orthogonaux

L'inversion conserve les angles entre deux courbes (au sens non orienté) : deux cercles tangents ont des images tangentes, deux cercles orthogonaux ont des images orthogonales.

Deux cercles de centres \(O_1\), \(O_2\) et de rayons \(r_1\), \(r_2\) sont orthogonaux quand leurs tangentes en un point commun sont perpendiculaires. C'est équivalent à \(O_1 O_2^2 = r_1^2 + r_2^2\), ou encore à : la puissance de \(O_1\) par rapport au second cercle vaut \(r_1^2\).

• Un cercle qui passe par un point \(P\) et par son inverse \(P'\) est orthogonal au cercle d'inversion.
• Deux cercles disjoints peuvent être envoyés par une inversion bien choisie sur deux cercles concentriques. Une chaîne de cercles tangents entre eux et aux deux cercles devient alors une chaîne de cercles égaux, ce qui rend les problèmes de type « porisme de Steiner » évidents.

Lien avec les pôles et polaires

Le pôle et la polaire sont définis à partir de l'inversion : la polaire de \(P\) est la perpendiculaire à \((OP)\) passant par l'inverse \(P'\) de \(P\). Les points d'une droite \(d\) et le cercle image de \(d\) par l'inversion se correspondent ainsi : l'inversion transforme une question d'incidence avec un cercle en une question de polaires. Voir Outils projectifs.

Exemple résolu

Problème (inégalité de Ptolémée)

Montrer que pour quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) du plan,

\[AB \cdot CD + AD \cdot BC \geq AC \cdot BD,\]

avec égalité si \(A, B, C, D\) sont sur un cercle, dans cet ordre.

Étape 1 : inverser en \(A\). On prend l'inversion de centre \(A\) et de rayon \(1\), et l'on note \(B'\), \(C'\), \(D'\) les images. Le point \(A\) « disparaît » : les trois distances qui le concernent vont servir de dénominateurs.

Étape 2 : l'inégalité triangulaire. Pour les trois points \(B'\), \(C'\), \(D'\) :

\[B'C' + C'D' \geq B'D'.\]

Étape 3 : revenir aux points de départ. Par la formule des distances avec \(r = 1\) :

\[\frac{BC}{AB \cdot AC} + \frac{CD}{AC \cdot AD} \geq \frac{BD}{AB \cdot AD}.\]

En multipliant par \(AB \cdot AC \cdot AD\), on obtient \(BC \cdot AD + CD \cdot AB \geq BD \cdot AC\).

Étape 4 : le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si \(C'\) est sur le segment \([B'D']\). Or \(B'\), \(C'\), \(D'\) sont alignés si et seulement si \(B\), \(C\), \(D\) sont sur un cercle passant par \(A\) (l'image d'une droite ne passant pas par \(A\)). L'ordre \(B'\), \(C'\), \(D'\) sur la droite correspond à l'ordre \(B\), \(C\), \(D\) sur l'arc qui ne contient pas \(A\) (voir la figure).

Conclusion. L'inégalité est vraie, et l'égalité pour un quadrilatère inscrit \(ABCD\) est le théorème de Ptolémée.

Le réflexe : choisir comme centre le point par lequel passent le plus de cercles. Ces cercles deviennent des droites, et le problème se simplifie.

Comment le reconnaître

• Beaucoup de cercles passent par un même point : en inversant en ce point, ils deviennent des droites.
• Des cercles tangents entre eux, notamment tangents en un même point.
• Des produits de longueurs issues d'un même point, \(AX \cdot AY\) (puissance par rapport au cercle d'inversion).
• Une conclusion de la forme « ce cercle est tangent à cette droite », « ces cercles sont tangents ».
• Un triangle avec un point remarquable \(A\) et des cercles passant par \(A\) : penser à l'inversion \(\sqrt{bc}\).

Techniques classiques

Situation	Technique
Plusieurs cercles passant par \(P\)	Inversion de centre \(P\) : ils deviennent des droites
Cercles tangents en \(P\)	Inversion de centre \(P\) : droites parallèles
Le cercle circonscrit et le côté \([BC]\)	Inversion \(\sqrt{bc}\) de centre \(A\), qui les échange
Un cercle et une famille de cercles orthogonaux	Inversion par rapport à ce cercle : chaque cercle orthogonal est fixe
Des longueurs à transporter	Formule \(A'B' = \frac{r^2 AB}{OA \cdot OB}\)
Inégalité ou égalité de produits de distances	Inverser en l'un des points, puis inégalité triangulaire ou alignement
Deux cercles disjoints et une chaîne de cercles tangents	Inversion qui rend les deux cercles concentriques
Montrer que deux cercles sont orthogonaux	\(O_1 O_2^2 = r_1^2 + r_2^2\), ou un cercle passant par deux points inverses
Le cercle inscrit et le cercle circonscrit	Inversion par rapport au cercle inscrit : \(A\) va au milieu de \([EF]\)

Exercices d'échauffement

1. Montrer que les triangles \(OAB\) et \(OB'A'\) sont semblables, puis la formule \(A'B' = \frac{r^2 AB}{OA \cdot OB}\).
2. Soit \(d\) une droite ne passant pas par \(O\), et \(H\) le projeté de \(O\) sur \(d\). Montrer que l'image de \(d\) est le cercle de diamètre \([OH']\). Indication : pour \(M\) sur \(d\), comparer les triangles \(OHM\) et \(OM'H'\).
3. Montrer qu'un cercle orthogonal au cercle d'inversion est globalement fixe. Indication : la puissance de \(O\) par rapport à ce cercle vaut \(r^2\).
4. Montrer que l'inversion \(\sqrt{bc}\) (de centre \(A\), de rayon \(\sqrt{AB \cdot AC}\), composée avec la symétrie par rapport à la bissectrice en \(A\)) échange \(B\) et \(C\), et envoie le cercle circonscrit à \(ABC\) sur la droite \((BC)\).
5. Deux cercles sont tangents extérieurement en \(P\), et une droite est tangente aux deux, en \(X\) et \(Y\). Que deviennent ces trois objets par une inversion de centre \(P\) ? En déduire que le cercle de diamètre \([XY]\) passe par \(P\).
6. Montrer qu'un cercle passant par un point \(P\) et par son inverse \(P'\) est orthogonal au cercle d'inversion. Indication : calculer la puissance de \(O\) par rapport à ce cercle.
7. Le cercle inscrit dans \(ABC\), de centre \(I\) et de rayon \(r\), touche \([CA]\) et \([AB]\) en \(E\) et \(F\). Montrer que l'inversion par rapport au cercle inscrit envoie \(A\) sur le milieu de \([EF]\). En déduire que l'image du cercle circonscrit est le cercle d'Euler du triangle \(DEF\), de rayon \(\frac{r}{2}\), puis retrouver la formule d'Euler \(OI^2 = R^2 - 2Rr\).

Inversion dans la shortlist

• 2015 G4, solution 2 : une inversion de centre \(B\) échange le cercle circonscrit et une droite.
• 2023 G5, solution 3 : l'inversion \(\sqrt{bc}\), composée avec la symétrie par rapport à la bissectrice.
• 2016 G7, solution 2 : l'inversion \(\sqrt{bc}\) envoie \(O\), \(I\), \(P\) sur les sommets d'un trapèze isocèle.
• 2020 G8, solution 2 : une inversion de centre \(I\) transforme deux cercles en droites parallèles et fait apparaître un parallélogramme.
• 2022 G7 : l'inverse d'un point par rapport à un cercle est identifié comme un projeté orthogonal.
• 2024 G7, solution 2 : l'inversion par rapport au cercle \(BIC\) ramène le problème à un énoncé simple.

Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 7 (M. Aassila), p. 413 à 418 (inversion), p. 419 à 422 (exercices), p. 423 à 427 (pôles et polaires), p. 428 et 429 (inversion \(\sqrt{bc}\)), p. 430 à 442 (exercices).

Problèmes de la shortlist

18 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,8) · dont 2 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 0 · 2 ★ : 1 · 3 ★ : 5 · 4 ★ : 9 · 5 ★ : 3

Problème	Difficulté	Concepts
2015 G4	★★☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical
2023 G5	★★★☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques
2020 G5	★★★☆☆	Homothétie · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques
2020 G6	★★★☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2015 G5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs
2014 G4	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2024 G7	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2023 G6	★★★★☆	Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2022 G7	★★★★☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2021 G7 · OIM P3	★★★★☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2020 G8	★★★★☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2019 G6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2018 G6 · OIM P6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2016 G6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2016 G7	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques
2021 G8	★★★★★	Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes
2014 G7	★★★★★	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2012 G8	★★★★★	Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs