Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires¶
Domaine : Géométrie · Niveau : avancé · Prérequis : Ceva et Ménélaüs, Puissance d'un point
L'idée¶
La géométrie projective s'intéresse à ce qui ne change pas quand on projette une figure depuis un point : les alignements, les concours, et une quantité mesurable, le birapport. Pour quatre points alignés \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), on pose
Invariance par projection
Si quatre droites passent par un point \(P\) (un faisceau), toute droite qui les coupe en \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) donne le même birapport \((A, B; C, D)\). On le note \(P(A, B; C, D)\).
Pour quatre points d'un cercle, le birapport vu depuis un point \(P\) du cercle ne dépend pas de \(P\) : on le note \((A, B; C, D)\) sur le cercle.
On transporte ainsi un birapport d'une droite à une autre, ou d'un cercle à une droite, par une suite de projections.
La division harmonique¶
Quand \((A, B; C, D) = -1\), on dit que \(C\) et \(D\) sont conjugués harmoniques par rapport à \(A\) et \(B\) : \(C\) partage \([AB]\) intérieurement dans le même rapport que \(D\) extérieurement. Elle apparaît dans quatre configurations à connaître.
| Configuration | Division harmonique |
|---|---|
| Bissectrices intérieure et extérieure en \(A\), de pieds \(D\) et \(E\) sur \((BC)\) | \((B, C; D, E) = -1\) |
| Céviennes concourantes \((AD)\), \((BE)\), \((CF)\), et \(Z = (EF) \cap (BC)\) | \((B, C; D, Z) = -1\) (exemple résolu) |
| Milieu \(M\) de \([AB]\) | \((A, B; M, \infty) = -1\), avec le point à l'infini de la droite |
| Quadrilatère inscrit \(ABCD\) dont les tangentes en \(A\) et \(C\) se coupent sur \((BD)\) | \((A, C; B, D) = -1\) sur le cercle : \(ABCD\) est un quadrilatère harmonique |
Le lemme de l'angle droit fait le lien avec les angles : si \((A, B; C, D) = -1\) et \(\angle CPD = 90^\circ\), alors \((PC)\) est la bissectrice de l'angle \(\angle APB\).
Pôles et polaires¶
Soit \(\omega\) un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\). La polaire d'un point \(P \neq O\) est la droite perpendiculaire à \((OP)\) qui passe par l'inverse \(P^*\) de \(P\) (avec \(OP \cdot OP^* = r^2\)). Si \(P\) est extérieur, c'est la droite qui joint les points de contact des deux tangentes issues de \(P\).
- La Hire : \(P\) est sur la polaire de \(Q\) si et seulement si \(Q\) est sur la polaire de \(P\).
- Brocard : pour un quadrilatère inscrit \(ABCD\), soient \(P = (AB) \cap (CD)\), \(Q = (AD) \cap (BC)\), \(R = (AC) \cap (BD)\). Chacun de ces points est le pôle de la droite qui joint les deux autres, et \(O\) est l'orthocentre du triangle \(PQR\).
Les grands théorèmes d'incidence¶
Pascal : pour six points d'un cercle, les intersections des côtés opposés de l'hexagone \(ABCDEF\) (soit \(AB \cap DE\), \(BC \cap EF\), \(CD \cap FA\)) sont alignées. Il reste vrai pour un hexagone dégénéré, où deux sommets consécutifs sont confondus et le côté est remplacé par la tangente. Brianchon est la version duale pour un hexagone circonscrit, et Desargues dit que deux triangles en perspective depuis un point le sont aussi depuis une droite.
Le faisceau harmonique et le quadrilatère complet¶
Quatre droites concourantes forment un faisceau harmonique quand elles coupent une (donc toute) sécante suivant une division harmonique. Un critère très pratique :
Critère de la parallèle
Le faisceau \(P(A, B; C, D)\) est harmonique si et seulement si une parallèle à \((PD)\) coupe \((PA)\), \((PB)\), \((PC)\) en \(A'\), \(B'\), \(C'\) avec \(C'\) milieu de \([A'B']\).
C'est le cas limite \(D = \infty\) de la division harmonique, vu depuis \(P\).
Quadrilatère complet. Soit \(ABCD\) un quadrilatère, \(P = (AB) \cap (CD)\) et \(Q = (AD) \cap (BC)\). Les diagonales \((AC)\) et \((BD)\) coupent \((PQ)\) en \(X\) et \(Y\), et on a \((P, Q; X, Y) = -1\). C'est la même configuration que celle de l'exemple résolu, vue depuis un autre point.
Le théorème du papillon¶
Théorème du papillon
Soit \(M\) le milieu d'une corde \([XY]\) d'un cercle. Deux autres cordes \([AB]\) et \([CD]\) passent par \(M\). Les droites \((AD)\) et \((BC)\) coupent \((XY)\) en \(P\) et \(Q\). Alors \(M\) est aussi le milieu de \([PQ]\).
Il en existe une généralisation, quand \(M\) n'est plus le milieu de \([XY]\) : avec des mesures algébriques sur la droite \((XY)\),
Le papillon se prouve par Ménélaüs, par la trigonométrie ou, plus élégamment, par le birapport : la projection depuis le cercle échange \(X\) et \(Y\) ainsi que \(P\) et \(Q\).
Exemple résolu¶
Problème
Soit \(ABC\) un triangle, et \((AD)\), \((BE)\), \((CF)\) trois céviennes concourantes, avec \(D\), \(E\), \(F\) sur \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). On suppose \((EF)\) non parallèle à \((BC)\), et l'on note \(Z\) leur intersection. Montrer que \((B, C; D, Z) = -1\).
Étape 1 : Ceva. Les céviennes sont concourantes, donc (voir Ceva et Ménélaüs)
Étape 2 : Ménélaüs. Les points \(Z\), \(E\), \(F\) sont alignés, sur des droites des trois côtés, donc
Étape 3 : diviser. Les deux derniers facteurs sont les mêmes. En divisant la première égalité par la seconde :
Conclusion. \(D\) et \(Z\) sont conjugués harmoniques par rapport à \(B\) et \(C\).
En projetant depuis \(A\), on obtient aussi un faisceau harmonique \(A(B, C; D, Z) = -1\), que l'on peut couper par n'importe quelle autre droite, par exemple \((EF)\) : si \((AD)\) coupe \((EF)\) en \(X\), alors \((F, E; X, Z) = -1\). C'est ainsi qu'une division harmonique se propage dans une figure.
Le réflexe : dès que trois céviennes concourent, chercher la division harmonique sur chaque côté. Avec les pieds des hauteurs, ou les points de contact du cercle inscrit, elle apparaît dans un grand nombre de problèmes.
Comment le reconnaître¶
- Une figure avec trois céviennes concourantes et la droite qui joint deux de leurs pieds.
- Des bissectrices intérieure et extérieure, ou deux droites perpendiculaires issues d'un même point.
- Les tangentes à un cercle issues d'un point, la corde des contacts, ou deux tangentes qui se coupent sur une corde.
- Un quadrilatère inscrit avec les intersections de ses côtés opposés et de ses diagonales.
- Six points sur un cercle, ou des tangentes en des points de la figure : Pascal ou Brianchon.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Céviennes concourantes | \((B, C; D, Z) = -1\), puis projection depuis un sommet |
| Montrer qu'une droite est une bissectrice | Faisceau harmonique et angle droit |
| Transporter un birapport | Projections successives depuis des points bien choisis |
| Tangentes et corde des contacts | Polaire ; La Hire pour échanger les rôles des points |
| Quadrilatère inscrit et ses intersections | Brocard : triangle autopolaire, \(O\) orthocentre |
| Alignement de trois points sur un cercle et des tangentes | Pascal sur un hexagone éventuellement dégénéré |
| Quatre droites concourantes, dont l'une est parallèle à une direction donnée | Critère de la parallèle : faisceau harmonique si et seulement si un milieu apparaît |
| Un quadrilatère et l'intersection de ses côtés opposés | Quadrilatère complet : division harmonique sur la troisième diagonale |
| Une corde, son milieu, et deux cordes qui passent par ce milieu | Théorème du papillon |
Exercices d'échauffement¶
- Les bissectrices intérieure et extérieure en \(A\) coupent \((BC)\) en \(D\) et \(E\). Montrer que \((B, C; D, E) = -1\). Indication : théorème de la bissectrice pour les deux.
- (Lemme de l'angle droit.) Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) alignés avec \((A, B; C, D) = -1\), et \(P\) un point tel que \(\angle CPD = 90^\circ\). Montrer que \((PC)\) est la bissectrice de \(\angle APB\). Indication : tracer par \(B\) la parallèle à \((PA)\).
- Montrer que si \(M\) est le milieu de \([AB]\), il n'existe aucun point \(D\) de la droite \((AB)\) tel que \((A, B; M, D) = -1\) : le conjugué de \(M\) est le point à l'infini.
- Avec l'origine en \(O\), montrer que la polaire de \(P\) par rapport au cercle de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(X\) tels que \(\overrightarrow{OX} \cdot \overrightarrow{OP} = r^2\). En déduire le théorème de La Hire.
- D'un point \(P\) extérieur à un cercle, on mène les tangentes, qui touchent le cercle en \(T_1\) et \(T_2\), et une sécante qui le coupe en \(A\) et \(B\). Soit \(Q\) l'intersection de \((AB)\) et \((T_1 T_2)\). Montrer que \((A, B; Q, P) = -1\).
- Démontrer le critère de la parallèle. Indication : sur la parallèle à \((PD)\), le point \(D\) est envoyé à l'infini, et \((A', B'; C', \infty) = -1\) signifie que \(C'\) est le milieu de \([A'B']\).
- Démontrer le théorème du papillon. Indication : projeter depuis \(D\), puis depuis \(B\), pour montrer que \((X, Y; P, M) = (X, Y; M, Q)\), puis conclure avec \(\overline{MX} = -\overline{MY}\).
Outils projectifs dans la shortlist¶
- 2019 G6 : la droite \((EF)\) coupe \((BC)\) au conjugué harmonique de \(D\), exactement comme dans l'exemple résolu.
- 2022 G6 : le quadrilatère complet \(BCEF\) donne la division harmonique \((A, I; Q, H) = -1\).
- 2016 G2, solution 2 : un quadrilatère harmonique apparaît avec le cercle mixtilinéaire.
- 2017 G4, solution 2 : le pôle d'une droite est l'intersection de deux polaires, par La Hire.
- 2022 G7 : par le théorème de Brocard, un triangle est autopolaire.
- 2023 G4 : Pascal sur un hexagone dégénéré (solution 2), ou birapport et division harmonique (solution 3).
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 7 (M. Aassila), p. 443 à 452 (plan projectif, birapport, division harmonique, avec exercices), p. 453 à 461 (faisceau harmonique, avec exercices), p. 462 à 468 (pôle et polaire), p. 469 à 480 (exercices), p. 423 à 427 (pôles et polaires dans le chapitre sur l'inversion), p. 136 à 143 (quadrilatère complet) ; tome 6, p. 369 à 375 (Desargues et Pascal), p. 376 à 380 (théorème du papillon et sa généralisation), p. 395 à 397 (Brianchon), p. 399 (Brocard).
Problèmes de la shortlist¶
36 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,4) · dont 4 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 2 · 2 ★ : 8 · 3 ★ : 8 · 4 ★ : 11 · 5 ★ : 7
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2016 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2014 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2024 G4 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2023 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Triangles semblables et similitudes |
| 2022 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2017 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2015 G3 | ★★☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2014 G2 | ★★☆☆☆ | Ceva et Ménélaüs · Homothétie |
| 2007 G3 | ★★☆☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Homothétie · Coordonnées et nombres complexes |
| 2020 G6 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2015 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs |
| 2013 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2011 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2008 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical |
| 2007 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes |
| 2006 G6 | ★★★☆☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs |
| 2025 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Ceva et Ménélaüs · Triangles semblables et similitudes |
| 2024 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2024 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion |
| 2023 G6 | ★★★★☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2022 G6 | ★★★★☆ | Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2022 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Ceva et Ménélaüs · Inversion · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2011 G7 | ★★★★☆ | Coordonnées et nombres complexes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2007 G8 | ★★★★☆ | Homothétie |
| 2025 G7 | ★★★★★ | Homothétie · Puissance d'un point et axe radical |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2021 G8 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Inversion |
| 2019 G8 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Principe des tiroirs |
| 2014 G7 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Inversion |
| 2012 G8 | ★★★★★ | Puissance d'un point et axe radical · Ceva et Ménélaüs · Inversion |
| 2011 G8 · OIM P6 | ★★★★★ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |