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Shortlist 2012, G2

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2012 (avec solutions), p. 30 (page 30 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

Let \(ABCD\) be a cyclic quadrilateral whose diagonals \(AC\) and \(BD\) meet at \(E\). The extensions of the sides \(AD\) and \(BC\) beyond \(A\) and \(B\) meet at \(F\). Let \(G\) be the point such that \(ECGD\) is a parallelogram, and let \(H\) be the image of \(E\) under reflection in \(AD\). Prove that \(D\), \(H\), \(F\), \(G\) are concyclic.

Indices : les idées clés
  • Triangles semblables : \(EAB \sim EDC\) et \(FAB \sim FCD\) (quadrilatère inscrit), d'où \(\frac{GD}{EB} = \frac{CD}{AB} = \frac{FD}{FB}\).
  • Chasse aux angles : \(\angle FDG = \angle FBE\), donc \(FDG \sim FBE\) et \(\angle FGD = \angle FEB\).
  • Symétrie : \(\angle FHD = \angle FED = 180^\circ - \angle FGD\), donc \(D\), \(H\), \(F\), \(G\) sont cocycliques.
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2012 (une solution et une remarque).

Solution

Montrons d'abord que les triangles \(FDG\) et \(FBE\) sont semblables. Comme \(ABCD\) est inscrit, les triangles \(EAB\) et \(EDC\) sont semblables, de même que \(FAB\) et \(FCD\). Le parallélogramme \(ECGD\) donne \(GD = EC\) et \(\angle CDG = \angle DCE\) ; de plus, \(\angle DCE = \angle DCA = \angle DBA\) (angles inscrits). Donc

\[\angle FDG = \angle FDC + \angle CDG = \angle FBA + \angle ABD = \angle FBE, \qquad \frac{GD}{EB} = \frac{CE}{EB} = \frac{CD}{AB} = \frac{FD}{FB}.\]

Il s'ensuit que \(FDG\) et \(FBE\) sont semblables, donc \(\angle FGD = \angle FEB\).

Comme \(H\) est le symétrique de \(E\) par rapport à \(FD\), on conclut que

\[\angle FHD = \angle FED = 180^\circ - \angle FEB = 180^\circ - \angle FGD.\]

Cela prouve que \(D\), \(H\), \(F\), \(G\) sont cocycliques. \(\blacksquare\)

Figure (solution)

Remarque

Les points \(E\) et \(G\) sont toujours dans le demi-plan délimité par la droite \(FD\) qui contient \(B\) et \(C\), alors que \(H\) est toujours dans l'autre. En particulier, \(DHFG\) est inscrit si et seulement si \(\angle FHD + \angle FGD = 180^\circ\).