Shortlist 2006, G4

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Russia

Concepts : Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 39 (page 40 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

A point \(D\) is chosen on the side \(AC\) of a triangle \(ABC\) with \(\angle C < \angle A < 90^\circ\) in such a way that \(BD = BA\). The incircle of \(ABC\) is tangent to \(AB\) and \(AC\) at points \(K\) and \(L\), respectively. Let \(J\) be the incentre of triangle \(BCD\). Prove that the line \(KL\) intersects the line segment \(AJ\) at its midpoint.

Indices : les idées clés

• Reformulation : avec \(M\) sur \(AC\) tel que \(JM \parallel KL\), il suffit de montrer \(AM = 2 \cdot AL\) (Thalès).
• Chasse aux angles : \(\angle CDJ = 90^\circ - \alpha = \angle DMJ\), donc le triangle \(DMJ\) est isocèle et \(DM = 2 \cdot DT\).
• Longueurs de tangentes : \(DM = BD + CD - BC\) et \(2 \cdot AL = AB + AC - BC\), avec \(BD = BA\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution).

Solution

Soit \(P\) le point commun de \(AJ\) et \(KL\). Soit \(M\) le point où la parallèle à \(KL\) passant par \(J\) coupe \(AC\). Alors \(P\) est le milieu de \(AJ\) si et seulement si \(AM = 2 \cdot AL\), ce que nous allons montrer.

En notant \(\angle BAC = 2\alpha\), les égalités \(BA = BD\) et \(AK = AL\) impliquent \(\angle ADB = 2\alpha\) et \(\angle ALK = 90^\circ - \alpha\). Comme \(DJ\) est la bissectrice de \(\angle BDC\), on obtient \(\angle CDJ = \frac{1}{2} \cdot (180^\circ - \angle ADB) = 90^\circ - \alpha\). De plus, \(\angle DMJ = \angle ALK = 90^\circ - \alpha\) puisque \(JM \parallel KL\). Il s'ensuit que \(JD = JM\).

Soit \(T\) le point de contact du cercle inscrit du triangle \(BCD\) avec son côté \(CD\). Alors \(JT \perp CD\), ce qui signifie que \(JT\) est la hauteur relative à la base \(DM\) du triangle isocèle \(DMJ\). Il s'ensuit que \(DT = MT\), et l'on a

\[DM = 2 \cdot DT = BD + CD - BC.\]

Donc

\[AM = AD + (BD + CD - BC) = AD + AB + DC - BC = AC + AB - BC = 2 \cdot AL,\]

ce qui termine la preuve. \(\blacksquare\)