Shortlist 2018, G7

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : Russia

Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques

Solution officielle : Shortlist officielle 2018 (avec solutions), p. 52 (page 54 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Pas encore relu

Les concepts et la rédaction de cette page n'ont pas encore été vérifiés.

Énoncé

Let \(O\) be the circumcentre, and \(\Omega\) be the circumcircle of an acute-angled triangle \(ABC\). Let \(P\) be an arbitrary point on \(\Omega\), distinct from \(A\), \(B\), \(C\), and their antipodes in \(\Omega\). Denote the circumcentres of the triangles \(AOP\), \(BOP\), and \(COP\) by \(O_A\), \(O_B\), and \(O_C\), respectively. The lines \(\ell_A\), \(\ell_B\), and \(\ell_C\) perpendicular to \(BC\), \(CA\), and \(AB\) pass through \(O_A\), \(O_B\), and \(O_C\), respectively. Prove that the circumcircle of the triangle formed by \(\ell_A\), \(\ell_B\), and \(\ell_C\) is tangent to the line \(OP\).

Indices : les idées clés

• Chasse aux angles orientés : toute la preuve est un calcul d'angles orientés entre droites, avec le principe « \(a_1 \perp a_2\) et \(b_1 \perp b_2\) donnent \(\measuredangle(a_1, b_1) = \measuredangle(a_2, b_2)\) ».
• Le triangle \(L_AL_BL_C\) formé par \(\ell_A, \ell_B, \ell_C\) a ses côtés perpendiculaires à ceux de \(ABC\), et \(O_A, O_B, O_C\) sont sur la médiatrice de \([OP]\).
• Angle entre un côté et le rayon du cercle circonscrit : dans un triangle \(PCA\) de centre \(O\), \(\measuredangle(PA, AO) = \frac{\pi}{2} - \measuredangle(CA, CP)\).
• Cercles auxiliaires \(\omega_A, \omega_B, \omega_C\) : ils montrent que \(P\) est sur le cercle circonscrit à \(L_AL_BL_C\) et que \(P\), \(L_C\), \(C\) sont alignés, puis la tangence se lit sur un angle.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2018 (une solution et quatre remarques).

Solution

On note \(\measuredangle(a, b)\) l'angle orienté entre les droites \(a\) et \(b\). On utilise souvent le fait que si \(a_1 \perp a_2\) et \(b_1 \perp b_2\), alors \(\measuredangle(a_1, b_1) = \measuredangle(a_2, b_2)\).

Soit \(L_A\) l'intersection de \(\ell_B\) et \(\ell_C\) ; on définit \(L_B\) et \(L_C\) de même. Les côtés du triangle \(L_AL_BL_C\) sont perpendiculaires aux côtés correspondants de \(ABC\). Les points \(O_A\), \(O_B\), \(O_C\) sont sur les côtés correspondants de \(L_AL_BL_C\) ; de plus, \(O_A\), \(O_B\), \(O_C\) sont tous sur la médiatrice de \([OP]\) (ce sont des centres de cercles passant par \(O\) et \(P\)). (Voir la figure.)

Affirmation 1. Les points \(L_B\), \(P\), \(O_A\), \(O_C\) sont cocycliques.

Preuve. Comme \(O\) est le symétrique de \(P\) par rapport à \((O_AO_C)\), on a par chasse aux angles orientés

\[\measuredangle(O_AP, O_CP) = \measuredangle(O_CO, O_AO) = \measuredangle(CP, AP) = \measuredangle(CB, AB) = \measuredangle(O_AL_B, O_CL_B).\]

(La première égalité vient de la symétrie, qui renverse les angles orientés ; la deuxième de \(O_CO \perp CP\) et \(O_AO \perp AP\), car \((O_CO)\) est la médiatrice de \([CP]\) et \((O_AO)\) celle de \([AP]\) ; la troisième du théorème de l'angle inscrit dans \(\Omega\) ; la dernière de \(O_AL_B = \ell_A \perp BC\) et \(O_CL_B = \ell_C \perp AB\).) \(\square\)

On note \(\omega_B\) le cercle passant par \(L_B\), \(P\), \(O_A\), \(O_C\), et on définit de même \(\omega_A\) et \(\omega_C\).

Affirmation 2. Le cercle circonscrit au triangle \(L_AL_BL_C\) passe par \(P\).

Preuve. En utilisant les quadruplets cocycliques sur \(\omega_B\) et \(\omega_C\) :

\[\begin{aligned} \measuredangle(L_CL_A, L_CP) &= \measuredangle(L_CO_B, L_CP) = \measuredangle(O_AO_B, O_AP) \\ &= \measuredangle(O_AO_C, O_AP) = \measuredangle(L_BO_C, L_BP) = \measuredangle(L_BL_A, L_BP). \end{aligned}\]

\(\square\)

Affirmation 3. Les points \(P\), \(L_C\), \(C\) sont alignés.

Preuve. On a \(\measuredangle(PL_C, L_CL_A) = \measuredangle(PL_C, L_CO_B) = \measuredangle(PO_A, O_AO_B)\) (cercle \(\omega_C\)). Ensuite, comme \(O_A\) est le centre du cercle \(AOP\) et que \((O_AO_B)\) est la médiatrice de \([OP]\), \(\measuredangle(PO_A, O_AO_B) = \measuredangle(PA, AO)\). Comme \(O\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(PCA\),

\[\measuredangle(PA, AO) = \frac{\pi}{2} - \measuredangle(CA, CP) = \measuredangle(CP, L_CL_A),\]

la dernière égalité car \(L_CL_A = \ell_B \perp CA\). On obtient \(\measuredangle(PL_C, L_CL_A) = \measuredangle(CP, L_CL_A)\), ce qui montre que \(P \in (CL_C)\). \(\square\)

De même, \(P\), \(L_A\), \(A\) sont alignés, et \(P\), \(L_B\), \(B\) aussi.

Conclusion. Le calcul ci-dessus montre aussi que

\[\measuredangle(OP, PL_A) = \measuredangle(PA, AO) = \measuredangle(PL_C, L_CL_A),\]

(la première égalité car \(P\), \(L_A\), \(A\) sont alignés et le triangle \(OAP\) est isocèle en \(O\)), ce qui signifie, par le cas limite du théorème de l'angle inscrit, que \((OP)\) est tangente au cercle \(PL_AL_BL_C\). \(\blacksquare\)

Précision ajoutée : les justifications entre parenthèses ne figurent pas dans le livret.

Remarques

Remarque 1. La preuve de l'affirmation 2 peut être remplacée par l'observation suivante : comme \(P\) appartient aux cercles \(\omega_A\) et \(\omega_C\), \(P\) est le point de Miquel des quatre droites \(\ell_A\), \(\ell_B\), \(\ell_C\) et \((O_AO_BO_C)\).

Remarque 2. Les affirmations 2 et 3 peuvent se démontrer de plusieurs façons, notamment dans l'ordre inverse. L'affirmation 3 dit que les triangles \(ABC\) et \(L_AL_BL_C\) sont en perspective de centre \(P\). On en déduit l'affirmation 2 par similitude : soit \(Q\) le centre de la similitude directe envoyant \(ABC\) sur \(L_AL_BL_C\). D'après les propriétés connues des similitudes, \(L_A\), \(L_B\), \(P\), \(Q\) sont cocycliques, ainsi que \(L_A\), \(L_C\), \(P\), \(Q\).

Remarque 3. La conclusion finale peut aussi s'obtenir par similitude : la similitude de centre \(Q\), situé sur le cercle \(ABC\), envoie le cercle \(ABC\) sur le cercle \(PL_AL_BL_C\). Ces deux cercles sont donc orthogonaux.

Remarque 4 (une reformulation). L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\) envoie \(O_A\) sur le point \(A'\) d'intersection des tangentes à \(\Omega\) en \(A\) et en \(P\) ; de même, elle envoie \(O_B\) sur \(B'\) et \(O_C\) sur \(C'\). Soit \(A''\) l'intersection des tangentes à \(\Omega\) en \(B\) et \(C\) ; on définit \(B''\) et \(C''\) de même. En renommant \(O\) en \(I\), \(\Omega\) en \(\omega\), et en échangeant \(A \leftrightarrow A''\), \(B \leftrightarrow B''\), \(C \leftrightarrow C''\), on obtient l'énoncé équivalent suivant :

Soit \(\omega\) le cercle inscrit, de centre \(I\), d'un triangle \(ABC\), et \(P\) un point de \(\omega\) (distinct des points de contact avec les côtés). La tangente à \(\omega\) en \(P\) coupe \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\) en \(A'\), \(B'\), \(C'\). La droite \(\ell_A\) parallèle à la bissectrice intérieure de \(\angle BAC\) passe par \(A'\) ; on définit \(\ell_B\) et \(\ell_C\) de même. Montrer que \((IP)\) est tangente au cercle circonscrit au triangle formé par \(\ell_A\), \(\ell_B\), \(\ell_C\).

Cette version paraît plus difficile, car le point de contact est maintenant « caché ».