Shortlist 2007, G2¶

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Canada

Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques

Solution officielle : Shortlist officielle 2007 (avec solutions), p. 41 (page 42 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé¶

Given an isosceles triangle \(ABC\) with \(AB = AC\). The midpoint of side \(BC\) is denoted by \(M\). Let \(X\) be a variable point on the shorter arc \(MA\) of the circumcircle of triangle \(ABM\). Let \(T\) be the point in the angle domain \(BMA\), for which \(\angle TMX = 90^\circ\) and \(TX = BX\). Prove that \(\angle MTB - \angle CTM\) does not depend on \(X\).

Indices : les idées clés

Milieu de \(BT\) : avec \(N\) milieu de \(BT\), \(XN\) est l'axe de symétrie du triangle isocèle \(BXT\), et \(MN \parallel CT\) (droite des milieux).
Cocyclicité : \(M\) et \(N\) sont sur le cercle de diamètre \(XT\), d'où \(\angle MTB - \angle CTM = \angle MXN - \angle BXN = \angle MXB = \angle MAB\).
Solution 2 : avec \(S\) symétrique de \(T\) par rapport à \(M\), \(X\) est le centre du cercle circonscrit de \(BST\), et l'on conclut par angle au centre.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2007 (deux solutions).

Solution 1¶

Soit \(N\) le milieu du segment \(BT\) (voir figure 1). La droite \(XN\) est l'axe de symétrie du triangle isocèle \(BXT\), donc \(\angle TNX = 90^\circ\) et \(\angle BXN = \angle NXT\). De plus, dans le triangle \(BCT\), la droite \(MN\) est la droite des milieux parallèle à \(CT\) ; donc \(\angle CTM = \angle NMT\).

Grâce aux angles droits en \(M\) et \(N\), ces points sont sur le cercle de diamètre \(XT\). Donc

\[\angle MTB = \angle MTN = \angle MXN \qquad \text{et} \qquad \angle CTM = \angle NMT = \angle NXT = \angle BXN.\]

Donc

\[\angle MTB - \angle CTM = \angle MXN - \angle BXN = \angle MXB = \angle MAB,\]

qui ne dépend pas de \(X\). \(\blacksquare\)

Figures 1 et 2

Solution 2¶

Soit \(S\) le symétrique du point \(T\) par rapport à \(M\) (voir figure 2). Alors \(XM\) est la médiatrice de \(TS\), donc \(XB = XT = XS\), et \(X\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(BST\). De plus, \(\angle BSM = \angle CTM\), puisqu'ils sont symétriques par rapport à \(M\). Alors

\[\angle MTB - \angle CTM = \angle STB - \angle BST = \frac{\angle SXB - \angle BXT}{2}.\]

Remarquons que \(\angle SXB = \angle SXT - \angle BXT = 2\angle MXT - \angle BXT\), donc

\[\angle MTB - \angle CTM = \frac{2\angle MXT - 2\angle BXT}{2} = \angle MXB = \angle MAB,\]

qui est constant. \(\blacksquare\)