Shortlist 2008, A1

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité

Solution officielle : Shortlist officielle 2008 (avec solutions), p. 7 (page 8 du PDF)

Problème 4 de l'OIM 2008

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2008, où il était le problème 4 (jour 2).

Énoncé

Find all functions \(f : (0, \infty) \to (0, \infty)\) such that

\[\frac{f(p)^2 + f(q)^2}{f(r^2) + f(s^2)} = \frac{p^2 + q^2}{r^2 + s^2}\]

for all \(p, q, r, s > 0\) with \(pq = rs\).

Indices : les idées clés

• Substitutions : \(p = q = r = s = 1\) donne \(f(1) = 1\), puis \(p = x\), \(q = 1\), \(r = s = \sqrt{x}\) donne \((xf(x) - 1)(f(x) - x) = 0\).
• Valeur par valeur : pour chaque \(x\), \(f(x) = x\) ou \(f(x) = \frac{1}{x}\) — mais le choix pourrait dépendre de \(x\).
• Exclusion des mélanges : si \(f(a) = \frac{1}{a} \neq a\) et \(f(b) = b \neq \frac{1}{b}\), la substitution \(p = a\), \(q = b\), \(r = s = \sqrt{ab}\) donne une valeur de \(f(ab)\) impossible.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2008 (une solution et une remarque). C'est le problème 4 de l'OIM 2008.

Solution

Réponse : \(f(x) = x\) pour tout \(x > 0\), et \(f(x) = \frac{1}{x}\) pour tout \(x > 0\).

Soit \(f\) vérifiant la condition donnée. En prenant \(p = q = r = s = 1\), on obtient \(f(1)^2 = f(1)\), donc \(f(1) = 1\). Prenons maintenant \(x > 0\) quelconque et posons \(p = x\), \(q = 1\), \(r = s = \sqrt{x}\) ; on obtient

\[\frac{f(x)^2 + 1}{2f(x)} = \frac{x^2 + 1}{2x}.\]

Cela se réécrit

\[xf(x)^2 + x = x^2f(x) + f(x), \qquad \big(xf(x) - 1\big)\big(f(x) - x\big) = 0.\]

Ainsi,

\[\text{pour tout } x > 0, \qquad f(x) = x \quad \text{ou} \quad f(x) = \frac{1}{x}. \tag{1}\]

Évidemment, si

\[f(x) = x \quad \text{pour tout } x > 0 \qquad \text{ou} \qquad f(x) = \frac{1}{x} \quad \text{pour tout } x > 0, \tag{2}\]

la condition du problème est vérifiée. Montrons que ces deux fonctions sont en fait les seules solutions.

Supposons donc qu'il existe une fonction \(f\) vérifiant la condition, autre que celles de (2). Alors \(f(a) \neq a\) et \(f(b) \neq \frac{1}{b}\) pour certains \(a, b > 0\). D'après (1), ces valeurs doivent être \(f(a) = \frac{1}{a}\), \(f(b) = b\). En appliquant l'équation avec \(p = a\), \(q = b\), \(r = s = \sqrt{ab}\), on obtient \((a^{-2} + b^2)/2f(ab) = (a^2 + b^2)/2ab\) ; de façon équivalente,

\[f(ab) = \frac{ab(a^{-2} + b^2)}{a^2 + b^2}. \tag{3}\]

On sait cependant (voir (1)) que \(f(ab)\) doit valoir \(ab\) ou \(\frac{1}{ab}\). Si \(f(ab) = ab\), alors (3) donne \(a^{-2} + b^2 = a^2 + b^2\), donc \(a = 1\). Mais, comme \(f(1) = 1\), cela contredit \(f(a) \neq a\). De même, si \(f(ab) = \frac{1}{ab}\), alors (3) donne \(a^2b^2(a^{-2} + b^2) = a^2 + b^2\), d'où \(b = 1\), ce qui contredit \(f(b) \neq \frac{1}{b}\). Les fonctions de (2) sont donc bien les deux seules solutions. \(\blacksquare\)

Remarque

L'équation comporte quatre variables avec une seule contrainte \(pq = rs\), ce qui laisse trois degrés de liberté et fournit beaucoup d'information. Diverses substitutions imposent diverses propriétés utiles à la fonction cherchée. Voici une autre méthode pour obtenir (1) ; il y en a certainement beaucoup d'autres.

Comme \(f(1) = 1\), en prenant d'abord \(p = q = 1\), \(r = \sqrt{x}\), \(s = 1/\sqrt{x}\), puis \(p = x\), \(q = 1/x\), \(r = s = 1\), on obtient deux relations, valables pour tout \(x > 0\) :

\[f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x + \frac{1}{x} \qquad \text{et} \qquad f(x)^2 + f\left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}. \tag{4}\]

En élevant la première au carré et en soustrayant la seconde, on obtient \(2f(x)f(1/x) = 2\). En soustrayant cela de la seconde relation de (4), on obtient

\[\left(f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right)\right)^2 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \qquad \text{soit} \qquad f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = \pm\left(x - \frac{1}{x}\right).\]

Ces deux possibilités, combinées avec la première équation de (4), donnent les deux possibilités de (1).