Shortlist 2023, N7¶

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★★★☆ · Proposé par : Netherlands

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide

Solution officielle : Shortlist officielle 2023 (avec solutions), p. 91 (page 93 du PDF)

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Énoncé¶

Let \(a, b, c, d\) be positive integers satisfying

\[\frac{ab}{a + b} + \frac{cd}{c + d} = \frac{(a + b)(c + d)}{a + b + c + d}.\]

Determine all possible values of \(a + b + c + d\).

Indices : les idées clés

Équations diophantiennes : chasser les dénominateurs pour obtenir une égalité entre entiers, puis raisonner sur les facteurs premiers de \(a+b+c+d\).
Une famille explicite \((a, b, c, d) = (\ell, k\ell, k\ell, k^2\ell)\) donne toutes les sommes \(\ell(k+1)^2\), c'est-à-dire tous les entiers non sans facteur carré.
Divisibilité : si \(a+b+c+d\) est sans facteur carré et que chacun de ses facteurs premiers divise \(a+b\), alors \(a+b+c+d\) divise \(a+b\), ce qui est impossible.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2023 (une solution et deux remarques).

Réponse. Les valeurs possibles de \(a+b+c+d\) sont exactement les entiers strictement positifs qui ne sont pas sans facteur carré (c'est-à-dire divisibles par le carré d'un entier \(\geq 2\)).

Solution¶

Construction. Prenons \(a = \ell\), \(b = k\ell\), \(c = k\ell\), \(d = k^2\ell\) avec \(k, \ell\) entiers strictement positifs. Alors

\[\frac{ab}{a+b} + \frac{cd}{c+d} = \frac{k\ell^2}{\ell + k\ell} + \frac{k^3\ell^2}{k\ell + k^2\ell} = \frac{k\ell}{k+1} + \frac{k^2\ell}{k+1} = k\ell\]

et

\[\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d} = \frac{(\ell + k\ell)(k\ell + k^2\ell)}{\ell + k\ell + k\ell + k^2\ell} = \frac{k(k+1)^2\ell^2}{\ell(k+1)^2} = k\ell,\]

donc l'égalité est vérifiée. Ainsi \(a + b + c + d = \ell(1 + 2k + k^2) = \ell(k+1)^2\) est atteint. Tout entier non sans facteur carré s'écrit \(\ell s^2\) avec \(s \geq 2\) ; en prenant \(k = s - 1 \geq 1\), on voit que toutes ces valeurs sont atteintes.

Les entiers sans facteur carré ne sont pas atteints. Supposons l'égalité vérifiée et, par l'absurde, \(a+b+c+d\) sans facteur carré. En multipliant par \((a+b)(c+d)(a+b+c+d)\), on obtient

\[\big(ab(c+d) + cd(a+b)\big)(a+b+c+d) = (a+b)^2 (c+d)^2. \tag{1}\]

Un facteur premier de \(a+b+c+d\) divise donc \((a+b)^2(c+d)^2\), donc divise \(a+b\) ou \(c+d\) ; comme il divise la somme \((a+b) + (c+d)\), il divise les deux. Puisque \(a+b+c+d\) est sans facteur carré (produit de premiers distincts) et que chacun de ses facteurs premiers divise \(a+b\), \(a+b+c+d\) divise \(a+b\). C'est impossible car \(0 < a + b < a + b + c + d\). Donc \(a+b+c+d\) n'est pas sans facteur carré. \(\blacksquare\)

Remarques¶

Remarque 1. Autre fin possible à partir de (1) : comme \(c + d \equiv -(a+b) \pmod{a+b+c+d}\),

\[(a+b)^2(c+d)^2 \equiv (a+b)^4 \pmod{a+b+c+d},\]

donc \(a+b+c+d \mid (a+b)^4\). Si \(a+b+c+d\) est sans facteur carré, cela force \(a+b+c+d \mid a+b\), ce qui est clairement absurde.

Remarque 2. Il semble difficile de caractériser tous les quadruplets \((a, b, c, d)\) solutions. Beaucoup, dont ceux de la solution, sont de la forme \((a, b, c, d) = (xy^2, xyz, xyz, xz^2)\) avec \(x, y, z\) entiers strictement positifs, mais il en existe d'autres, comme \((2, 7, 8, 10)\) ou \((13, 14, 16, 38)\).