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Shortlist 2006, A2

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Poland

Concepts : Suites et récurrences · Récurrence et constructions récursives

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 9 (page 10 du PDF)

Énoncé

The sequence of real numbers \(a_0, a_1, a_2, \ldots\) is defined recursively by

\[a_0 = -1, \qquad \sum_{k=0}^{n}\frac{a_{n-k}}{k + 1} = 0 \quad \text{for } n \geq 1.\]

Show that \(a_n > 0\) for \(n \geq 1\).

Indices : les idées clés
  • Deux relations consécutives : on écrit la récurrence pour \(n\) et \(n + 1\), multipliées par \(n + 1\) et \(n + 2\).
  • Élimination de \(a_0\) : la différence fait disparaître le coefficient de \(a_0\) et donne \(a_{n+1} = \frac{1}{n + 2}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(n - k + 1)(n - k + 2)}a_k\).
  • Récurrence forte : tous les coefficients sont positifs, donc \(a_1, \ldots, a_n > 0\) implique \(a_{n+1} > 0\).
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution et une remarque).

Solution

La preuve se fait par récurrence. Pour \(n = 1\), la formule donne \(a_1 = 1/2\). Prenons \(n \geq 1\), supposons \(a_1, \ldots, a_n > 0\), et écrivons la formule de récurrence pour \(n\) et \(n + 1\) respectivement :

\[\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{n - k + 1} = 0 \qquad \text{et} \qquad \sum_{k=0}^{n+1}\frac{a_k}{n - k + 2} = 0.\]

La soustraction donne

\[0 = (n + 2)\sum_{k=0}^{n+1}\frac{a_k}{n - k + 2} - (n + 1)\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{n - k + 1} = (n + 2)a_{n+1} + \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{n + 2}{n - k + 2} - \frac{n + 1}{n - k + 1}\right)a_k.\]

Le coefficient de \(a_0\) s'annule, donc

\[a_{n+1} = \frac{1}{n + 2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n + 1}{n - k + 1} - \frac{n + 2}{n - k + 2}\right)a_k = \frac{1}{n + 2}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(n - k + 1)(n - k + 2)}a_k.\]

Les coefficients de \(a_1, \ldots, a_n\) sont tous strictement positifs. Donc \(a_1, \ldots, a_n > 0\) implique \(a_{n+1} > 0\). \(\blacksquare\)

Remarque

Les élèves familiers des séries génératrices reconnaîtront immédiatement \(\sum a_nx^n\) comme le développement en série entière de \(x/\ln(1 - x)\) (de valeur \(-1\) en \(0\)). Mais cela peut être un piège : les tentatives dans cette direction mènent à des équations différentielles désagréables et à des intégrales difficiles à manier. N'utiliser que des outils d'analyse réelle (par exemple calculer les coefficients à partir des dérivées) semble très difficile.

D'autre part, on peut atteindre les coefficients par des intégrales de contour complexes et d'autres techniques d'analyse complexe, et obtenir pour les coefficients une jolie formule :

\[a_n = \int_1^\infty \frac{dx}{x^n\left(\pi^2 + \log^2(x - 1)\right)} \qquad (n \geq 1),\]

qui est évidemment strictement positive.