Shortlist 2010, A8¶

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : South Korea

Concepts : Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes

Solution officielle : Shortlist officielle 2010 (avec solutions), p. 18 (page 19 du PDF)

Pas encore relu

Les concepts et la rédaction de cette page n'ont pas encore été vérifiés.

Énoncé¶

Given six positive numbers \(a, b, c, d, e, f\) such that \(a < b < c < d < e < f\). Let \(a + c + e = S\) and \(b + d + f = T\). Prove that

\[2ST > \sqrt{3(S + T)\big(S(bd + bf + df) + T(ac + ae + ce)\big)}. \tag{1}\]

Indices : les idées clés

Polynôme auxiliaire : \(P(x) = T(x - a)(x - c)(x - e) + S(x - b)(x - d)(x - f)\) change de signe sur \((a, c)\), \((c, e)\), \((e, f)\) ; ses trois racines distinctes vérifient \((\alpha + \beta + \gamma)^2 > 3(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)\), ce qui est exactement (1).
Solution 2 : avec \(U = S^2 - 3(ac + ae + ce)\) et \(V = T^2 - 3(bd + bf + df)\), l'inégalité devient \((S + T)(SV + TU) > ST(T - S)^2\), qui découle de Cauchy-Schwarz et de \(\sqrt U + \sqrt V > T - S\).
Solution 4 : des déplacements qui gardent \(S\), \(T\) et augmentent \(\sigma\), \(\tau\) ramènent au cas \(b = c = d = e\), conclu par AM-GM.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2010 (quatre solutions et trois remarques).

Solution 1¶

Posons aussi \(\sigma = ac + ce + ae\) et \(\tau = bd + bf + df\). L'idée de la solution est d'interpréter (1) comme une inégalité naturelle sur les racines d'un polynôme bien choisi.

Considérons en effet le polynôme

\[\begin{aligned} P(x) &= (b + d + f)(x - a)(x - c)(x - e) + (a + c + e)(x - b)(x - d)(x - f) \\ &= T(x^3 - Sx^2 + \sigma x - ace) + S(x^3 - Tx^2 + \tau x - bdf). \end{aligned} \tag{2}\]

Clairement, \(P\) est de degré \(3\), de coefficient dominant \(S + T > 0\). De plus,

\[\begin{aligned} P(a) &= S(a - b)(a - d)(a - f) < 0, & P(c) &= S(c - b)(c - d)(c - f) > 0, \\ P(e) &= S(e - b)(e - d)(e - f) < 0, & P(f) &= T(f - a)(f - c)(f - e) > 0. \end{aligned}\]

Chacun des intervalles \((a, c)\), \((c, e)\), \((e, f)\) contient donc au moins une racine de \(P(x)\). Comme il y a au plus trois racines, il y a exactement une racine dans chaque intervalle (notons-les \(\alpha \in (a, c)\), \(\beta \in (c, e)\), \(\gamma \in (e, f)\)). De plus, le polynôme \(P\) se factorise en

\[P(x) = (T + S)(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma). \tag{3}\]

En identifiant les coefficients des deux écritures (2) et (3) de \(P(x)\), on obtient

\[\alpha + \beta + \gamma = \frac{2TS}{T + S}, \qquad \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{S\tau + T\sigma}{T + S}.\]

Comme les nombres \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) sont distincts, on a

\[0 < (\alpha - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \gamma)^2 = 2(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 6(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma),\]

ce qui implique

\[\frac{4S^2T^2}{(T + S)^2} = (\alpha + \beta + \gamma)^2 > 3(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma) = \frac{3(S\tau + T\sigma)}{T + S},\]

soit

\[4S^2T^2 > 3(T + S)(T\sigma + S\tau),\]

ce qui est exactement ce qu'il faut. \(\blacksquare\)

Remarque 1. En fait, on peut localiser plus précisément les racines de \(P(x)\) : elles sont dans les intervalles \((a, b)\), \((c, d)\), \((e, f)\).

Bien sûr, si l'on remplace toutes les inégalités de l'énoncé par des inégalités larges, l'inégalité (large) reste vraie par continuité. On peut aussi déterminer les cas d'égalité. L'égalité a lieu quand \(P(x)\) est un cube parfait, ce qui implique immédiatement \(b = c = d = e\) (\(= \alpha = \beta = \gamma\)), avec la condition supplémentaire \(P''(b) = 0\). Algébriquement,

\[6(T + S)b - 4TS = 0 \iff 3b(a + 4b + f) = 2(a + 2b)(2b + f) \iff f = \frac{b(4b - a)}{2a + b} = b\left(1 + \frac{3(b - a)}{2a + b}\right) > b.\]

Cela signifie que, pour tout couple de nombres \(a\), \(b\) tels que \(0 < a < b\), il existe \(f > b\) tel que le point \((a, b, b, b, b, f)\) soit un cas d'égalité.

Solution 2¶

Posons

\[U = \frac{1}{2}\big((e - a)^2 + (c - a)^2 + (e - c)^2\big) = S^2 - 3(ac + ae + ce)\]

et

\[V = \frac{1}{2}\big((f - b)^2 + (f - d)^2 + (d - b)^2\big) = T^2 - 3(bd + bf + df).\]

Alors

\[\begin{aligned} (\text{membre de gauche})^2 - (\text{membre de droite})^2 &= (2ST)^2 - (S + T)\big(S \cdot 3(bd + bf + df) + T \cdot 3(ac + ae + ce)\big) \\ &= 4S^2T^2 - (S + T)\big(S(T^2 - V) + T(S^2 - U)\big) = (S + T)(SV + TU) - ST(T - S)^2, \end{aligned}\]

et l'énoncé équivaut à

\[(S + T)(SV + TU) > ST(T - S)^2. \tag{4}\]

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

\[(S + T)(TU + SV) \geq \left(\sqrt{S \cdot TU} + \sqrt{T \cdot SV}\right)^2 = ST\left(\sqrt{U} + \sqrt{V}\right)^2. \tag{5}\]

Estimons \(\sqrt{U}\) et \(\sqrt{V}\) par l'inégalité entre moyennes quadratique et arithmétique, en omettant les termes positifs \((e - c)^2\) et \((d - b)^2\) :

\[\begin{aligned} \sqrt{U} + \sqrt{V} &> \sqrt{\frac{(e - a)^2 + (c - a)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(f - b)^2 + (f - d)^2}{2}} \\ &\geq \frac{(e - a) + (c - a)}{2} + \frac{(f - b) + (f - d)}{2} = \left(f - \frac{d}{2} - \frac{b}{2}\right) + \left(\frac{e}{2} + \frac{c}{2} - a\right) \\ &= (T - S) + \frac{3}{2}(e - d) + \frac{3}{2}(c - b) > T - S. \end{aligned} \tag{6}\]

Les estimations (5) et (6) prouvent (4), et donc l'énoncé. \(\blacksquare\)

Solution 3¶

On garde les notations \(\sigma\) et \(\tau\) de la solution 1. Posons de plus \(s = c + e\). Remarquons que

\[(c - b)(c - d) + (e - f)(e - d) + (e - f)(c - b) < 0,\]

puisque chaque terme est négatif. Cela s'écrit

\[(bd + bf + df) - (ac + ce + ae) < (c + e)(b + d + f - a - c - e), \qquad \text{soit} \qquad \tau - \sigma < s(T - S). \tag{7}\]

On a alors

\[\begin{aligned} S\tau + T\sigma = S(\tau - \sigma) + (S + T)\sigma &< Ss(T - S) + (S + T)(ce + as) \\ &\leq Ss(T - S) + (S + T)\left(\frac{s^2}{4} + (S - s)s\right) = s\left(2ST - \frac{3}{4}(S + T)s\right). \end{aligned}\]

Avec cette inégalité et l'inégalité arithmético-géométrique, on obtient

\[\sqrt{\frac{3}{4}(S + T)(S\tau + T\sigma)} < \sqrt{\frac{3}{4}(S + T)s\left(2ST - \frac{3}{4}(S + T)s\right)} \leq \frac{\frac{3}{4}(S + T)s + 2ST - \frac{3}{4}(S + T)s}{2} = ST.\]

Donc

\[2ST > \sqrt{3(S + T)\big(S(bd + bf + df) + T(ac + ae + ce)\big)}. \qquad \blacksquare\]

Remarque 2. L'expression (7) s'obtient en considérant la somme des racines du polynôme du second degré \(q(x) = (x - b)(x - d)(x - f) - (x - a)(x - c)(x - e)\).

Solution 4¶

On utilise les expressions \(\sigma\) et \(\tau\) des solutions précédentes. L'idée est de modifier les valeurs des variables \(a, \ldots, f\) en gardant le membre de gauche inchangé et en augmentant le membre de droite ; on aboutira à une inégalité plus simple, qu'on prouvera directement.

Plus précisément, on modifie les variables en (i) conservant les inégalités larges \(a \leq b \leq c \leq d \leq e \leq f\) ; (ii) gardant inchangées les sommes \(S\) et \(T\) ; et enfin (iii) augmentant les valeurs de \(\sigma\) et \(\tau\). Alors le membre de gauche de (1) reste inchangé, tandis que le membre de droite augmente. Donc l'inégalité (1) (et même une version large de (1)) pour les valeurs modifiées impliquerait la même inégalité (stricte) pour les valeurs initiales.

Trouvons d'abord des conditions suffisantes pour (ii) et (iii).

Lemme. Soient \(x, y, z > 0\) ; posons \(U(x, y, z) = x + y + z\) et \(\upsilon(x, y, z) = xy + xz + yz\). Supposons que \(x' + y' = x + y\) mais \(\lvert x - y \rvert \geq \lvert x' - y' \rvert\) ; alors \(U(x', y', z) = U(x, y, z)\) et \(\upsilon(x', y', z) \geq \upsilon(x, y, z)\), avec égalité seulement si \(\lvert x - y \rvert = \lvert x' - y' \rvert\).

Preuve. La première égalité est évidente. Pour la seconde,

\[\upsilon(x', y', z) = z(x' + y') + x'y' = z(x' + y') + \frac{(x' + y')^2 - (x' - y')^2}{4} \geq z(x + y) + \frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{4} = \upsilon(x, y, z),\]

avec égalité seulement si \((x' - y')^2 = (x - y)^2 \iff \lvert x' - y' \rvert = \lvert x - y \rvert\), comme voulu. \(\square\)

Appliquons maintenant le lemme plusieurs fois, en effectuant les modifications suivantes. Pour chaque modification, on note les nouvelles valeurs par les mêmes lettres pour éviter des notations lourdes.

Soit \(k = \frac{d - c}{2}\). Remplaçons \((b, c, d, e)\) par \((b + k, c + k, d - k, e - k)\). Après ce changement, on a \(a < b < c = d < e < f\), les valeurs de \(S\), \(T\) sont inchangées, mais \(\sigma\), \(\tau\) augmentent strictement d'après le lemme.
Soit \(\ell = \frac{e - d}{2}\). Remplaçons \((c, d, e, f)\) par \((c + \ell, d + \ell, e - \ell, f - \ell)\). Après ce changement, on a \(a < b < c = d = e < f\), les valeurs de \(S\), \(T\) sont inchangées, mais \(\sigma\), \(\tau\) augmentent strictement d'après le lemme.
Enfin, soit \(m = \frac{c - b}{3}\). Remplaçons \((a, b, c, d, e, f)\) par \((a + 2m, b + 2m, c - m, d - m, e - m, f - m)\). Après ce changement, on a \(a < b = c = d = e < f\), et \(S\), \(T\) sont inchangés. Pour vérifier (iii), on remarque que ce changement peut être vu comme la composition de deux changements : \((a, b, c, d) \to (a + m, b + m, c - m, d - m)\) et \((a, b, e, f) \to (a + m, b + m, e - m, f - m)\). On voit facilement que chacun de ces deux changements successifs vérifie les conditions du lemme ; les valeurs de \(\sigma\) et \(\tau\) augmentent donc.

On arrive finalement à la situation \(a < b = c = d = e < f\), et il faut prouver l'inégalité

\[\begin{aligned} 2(a + 2b)(2b + f) &\geq \sqrt{3(a + 4b + f)\big((a + 2b)(b^2 + 2bf) + (2b + f)(2ab + b^2)\big)} \\ &= \sqrt{3b(a + 4b + f) \cdot \big((a + 2b)(b + 2f) + (2b + f)(2a + b)\big)}. \end{aligned} \tag{8}\]

Or

\[2 \cdot 2(a + 2b)(2b + f) = 3b(a + 4b + f) + \big((a + 2b)(b + 2f) + (2a + b)(2b + f)\big).\]

Donc (8) s'écrit

\[3b(a + 4b + f) + \big((a + 2b)(b + 2f) + (2a + b)(2b + f)\big) \geq 2\sqrt{3b(a + 4b + f) \cdot \big((a + 2b)(b + 2f) + (2b + f)(2a + b)\big)},\]

ce qui est simplement l'inégalité arithmético-géométrique (le livret renvoie ici à (4) ; il s'agit de (8).). \(\blacksquare\)

Remarque 3. On peut aussi trouver ici tous les cas d'égalité. En effet, on voit facilement que si deux des nombres \(b, c, d, e\) sont distincts, on peut utiliser le lemme pour augmenter le membre de droite de (1). Ensuite, si \(b = c = d = e\), il faut l'égalité dans (8) ; cela signifie qu'on applique AM-GM à des nombres égaux, c'est-à-dire

\[3b(a + 4b + f) = (a + 2b)(b + 2f) + (2a + b)(2b + f),\]

ce qui mène à la même égalité que dans la remarque 1.