Shortlist 2008, A5¶

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu

Solution officielle : Shortlist officielle 2008 (avec solutions), p. 14 (page 15 du PDF)

Énoncé¶

Let \(a, b, c, d\) be positive real numbers such that

\[abcd = 1 \qquad \text{and} \qquad a + b + c + d > \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}.\]

Prove that

\[a + b + c + d < \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}.\]

Indices : les idées clés

Moyenne pondérée : on montre que \(a + b + c + d\) est au plus une moyenne pondérée de \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\) et de \(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\).
AM-GM sur \(\frac{a}{b}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{a}{d}\) : avec \(abcd = 1\), leur moyenne géométrique vaut \(a\).
Version plus forte : l'inégalité de Hölder sur les lignes d'un tableau \(4 \times 4\) donne \(\left(\sum \frac{a}{b}\right)^3\left(\sum \frac{b}{a}\right) \geq (a + b + c + d)^4\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2008 (une solution et une remarque).

Solution¶

Montrons que si \(abcd = 1\), la somme \(a + b + c + d\) ne peut pas dépasser une certaine moyenne pondérée des expressions \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\) et \(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\).

En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux nombres \(\frac{a}{b}\), \(\frac{a}{b}\), \(\frac{b}{c}\) et \(\frac{a}{d}\), on obtient

\[a = \sqrt[4]{\frac{a^4}{abcd}} = \sqrt[4]{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{a}{d}} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{a}{d}\right).\]

De même,

\[b \leq \frac{1}{4}\left(\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{b}{a}\right), \qquad c \leq \frac{1}{4}\left(\frac{c}{d} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} + \frac{c}{b}\right) \qquad \text{et} \qquad d \leq \frac{1}{4}\left(\frac{d}{a} + \frac{d}{a} + \frac{a}{b} + \frac{d}{c}\right).\]

En sommant ces estimations, on obtient

\[a + b + c + d \leq \frac{3}{4}\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\right).\]

En particulier, si \(a + b + c + d > \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\), alors \(a + b + c + d < \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\). \(\blacksquare\)

Remarque¶

L'estimation de la solution ci-dessus s'obtient en appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à chaque colonne du tableau \(4 \times 4\)

\[\begin{matrix} a/b & b/c & c/d & d/a \\ a/b & b/c & c/d & d/a \\ b/c & c/d & d/a & a/b \\ a/d & b/a & c/b & d/c \end{matrix}\]

et en additionnant les inégalités obtenues. Le même tableau donne une borne plus forte : si \(a, b, c, d > 0\) et \(abcd = 1\), alors

\[\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)^3\left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\right) \geq (a + b + c + d)^4.\]

Il suffit d'appliquer l'inégalité de Hölder aux suites des quatre lignes, avec les poids \(1/4\) :

\[\begin{aligned} &\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)^{1/4}\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)^{1/4}\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} + \frac{a}{b}\right)^{1/4}\left(\frac{a}{d} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c}\right)^{1/4} \\ &\quad \geq \left(\frac{aaba}{bbcd}\right)^{1/4} + \left(\frac{bbcb}{ccda}\right)^{1/4} + \left(\frac{ccdc}{ddab}\right)^{1/4} + \left(\frac{ddad}{aabc}\right)^{1/4} = a + b + c + d. \end{aligned}\]