Shortlist 2022, A1¶
Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Nigeria
Concepts : Suites et récurrences
Solution officielle : Shortlist officielle 2022 (avec solutions), p. 9 (page 11 du PDF)
Énoncé¶
Let \((a_n)_{n \geq 1}\) be a sequence of positive real numbers with the property that
for all positive integers \(n\). Show that \(a_{2022} \leq 1\).
Indices : les idées clés
- Factoriser l'hypothèse : en retranchant \(1\) des deux côtés, \((a_{n+1})^2 - 1 \leq (1 - a_n)(a_{n+2} - 1)\).
- Pas deux termes consécutifs \(> 1\) : sinon on obtient à la fois \(a_{n+1}^2 < a_{n+2}^2\) et \(a_{n+2}^2 < a_{n+1}^2\).
- Suites et récurrences : une relation entre trois termes consécutifs, exploitée par comparaison de signes plutôt que par calcul explicite.
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2022 (une solution).
Solution 1¶
L'hypothèse s'écrit \((a_{n+1})^2 - 1 \leq a_n + a_{n+2} - a_n a_{n+2} - 1\), c'est-à-dire, en factorisant,
Pas deux termes consécutifs strictement supérieurs à \(1\) (sauf peut-être \(a_1, a_2\)). Supposons qu'il existe un entier \(n \geq 1\) avec \(a_{n+1} > 1\) et \(a_{n+2} > 1\). Le membre de gauche de (1) est alors strictement positif et \(a_{n+2} - 1 > 0\), donc \(1 - a_n > 0\) ; ainsi \(0 < 1 - a_n < 1 < 1 + a_{n+2}\), et
D'autre part, (1) au rang \(n + 1\) donne \((a_{n+2})^2 - 1 \leq (1 - a_{n+3})(a_{n+1} - 1)\), et comme \(1 - a_{n+3} < 1 < 1 + a_{n+1}\) et \(a_{n+1} - 1 > 0\),
Les deux inégalités sont contradictoires. Donc deux termes consécutifs, à l'exception peut-être de \(a_1\) et \(a_2\), ne peuvent pas être tous deux strictement supérieurs à \(1\).
Conclusion. Supposons \(a_{2022} > 1\). D'après ce qui précède, \(a_{2021} \leq 1\) et \(a_{2023} \leq 1\). Alors, par (1) au rang \(2021\),
puisque \(1 - a_{2021} \geq 0\) et \(a_{2023} - 1 \leq 0\). C'est une contradiction, donc \(a_{2022} \leq 1\). \(\blacksquare\)