Shortlist 2010, A2

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Ukraine

Concepts : AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage

Solution officielle : Shortlist officielle 2010 (avec solutions), p. 8 (page 9 du PDF)

Énoncé

Let the real numbers \(a, b, c, d\) satisfy the relations \(a + b + c + d = 6\) and \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 12\). Prove that

\[36 \leq 4(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) - (a^4 + b^4 + c^4 + d^4) \leq 48.\]

Indices : les idées clés

• Changement de variables \(x = a - 1\), etc. : l'expression vaut \(52 - (x^4 + y^4 + z^4 + t^4)\) sous la contrainte \(x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 4\).
• Moyennes : \(4 \leq \sum x^4 \leq \left(\sum x^2\right)^2 = 16\).
• Inégalités tangentes (solution 2) : sur \([0, 3]\), \(4x^3 - x^4 \leq 4x^2\) et \(4x^3 - x^4 \geq 2x^2 + 4x - 3\) ; ou bien Tchebychev (solution 3).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2010 (trois solutions et quatre remarques).

Solution 1

Remarquons que

\[\begin{aligned} 4(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) - (a^4 + b^4 + c^4 + d^4) &= -\big((a - 1)^4 + (b - 1)^4 + (c - 1)^4 + (d - 1)^4\big) \\ &\quad + 6(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - 4(a + b + c + d) + 4 \\ &= -\big((a - 1)^4 + (b - 1)^4 + (c - 1)^4 + (d - 1)^4\big) + 52. \end{aligned}\]

En posant \(x = a - 1\), \(y = b - 1\), \(z = c - 1\), \(t = d - 1\), il faut donc prouver les inégalités

\[16 \geq x^4 + y^4 + z^4 + t^4 \geq 4\]

sous la contrainte

\[x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - 2(a + b + c + d) + 4 = 4 \tag{1}\]

(on n'utilisera pas la valeur de \(x + y + z + t\), bien qu'on puisse la calculer).

L'inégalité de droite découle de l'inégalité des moyennes (quadratique et d'ordre \(4\)) :

\[x^4 + y^4 + z^4 + t^4 \geq \frac{(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)^2}{4} = 4.\]

Pour l'autre, en développant, on remarque que

\[(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)^2 = (x^4 + y^4 + z^4 + t^4) + q,\]

où \(q\) est un nombre positif ou nul ; donc

\[x^4 + y^4 + z^4 + t^4 \leq (x^2 + y^2 + z^2 + t^2)^2 = 16,\]

ce qui conclut. \(\blacksquare\)

Remarque 1. Les estimations sont optimales ; les bornes inférieure et supérieure sont atteintes en \((3, 1, 1, 1)\) et \((0, 2, 2, 2)\) respectivement.

Remarque 2. Après le changement de variables, on peut terminer la solution de plusieurs façons. Par exemple, la dernière estimation peut s'obtenir en déplaçant les variables, puisqu'on n'a besoin que de la seconde des deux conditions translatées.

Solution 2

Montrons d'abord que \(0 \leq a, b, c, d \leq 3\). En effet,

\[a + b + c = 6 - d, \qquad a^2 + b^2 + c^2 = 12 - d^2,\]

donc l'inégalité des moyennes

\[a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}\]

s'écrit

\[12 - d^2 \geq \frac{(6 - d)^2}{3} \iff 2d(d - 3) \leq 0,\]

ce qui donne les inégalités voulues pour \(d\) ; comme les conditions sont symétriques, on a la même estimation pour les autres variables.

Pour prouver l'inégalité de droite, on utilise l'inégalité évidente \(x^2(x - 2)^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\) ; elle s'écrit \(4x^3 - x^4 \leq 4x^2\). Il s'ensuit que

\[(4a^3 - a^4) + (4b^3 - b^4) + (4c^3 - c^4) + (4d^3 - d^4) \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 48,\]

comme voulu.

Prouvons maintenant l'inégalité de gauche de façon analogue. Pour tout \(x \in [0, 3]\), on a \((x + 1)(x - 1)^2(x - 3) \leq 0\), ce qui équivaut à \(4x^3 - x^4 \geq 2x^2 + 4x - 3\). Cela implique

\[(4a^3 - a^4) + (4b^3 - b^4) + (4c^3 - c^4) + (4d^3 - d^4) \geq 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 4(a + b + c + d) - 12 = 36,\]

comme voulu. \(\blacksquare\)

Remarque. Il est facile de deviner les points extrémaux \((0, 2, 2, 2)\) et \((3, 1, 1, 1)\) de cette inégalité. Cela donne une méthode pour trouver les polynômes utilisés dans la solution 2. En effet, ces polynômes doivent être de la forme \(x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + c\) ; de plus, le premier doit avoir pour racines \(2\) (de multiplicité paire) et \(0\), et le second \(1\) (de multiplicité paire) et \(3\). Ces conditions déterminent les polynômes de façon unique.

Solution 3

D'abord, en développant \(48 = 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\) et en appliquant l'inégalité arithmético-géométrique, on a

\[\begin{aligned} a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 48 &= (a^4 + 4a^2) + (b^4 + 4b^2) + (c^4 + 4c^2) + (d^4 + 4d^2) \\ &\geq 2\left(\sqrt{a^4 \cdot 4a^2} + \sqrt{b^4 \cdot 4b^2} + \sqrt{c^4 \cdot 4c^2} + \sqrt{d^4 \cdot 4d^2}\right) \\ &= 4\big(\lvert a^3 \rvert + \lvert b^3 \rvert + \lvert c^3 \rvert + \lvert d^3 \rvert\big) \geq 4(a^3 + b^3 + c^3 + d^3), \end{aligned}\]

ce qui établit l'inégalité de droite.

Pour prouver l'inégalité de gauche, on montre d'abord que \(a, b, c, d \in [0, 3]\) comme dans la solution précédente. De plus, on peut supposer \(0 \leq a \leq b \leq c \leq d\). On a alors \(a + b \leq b + c \leq \frac{2}{3}(b + c + d) \leq \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Montrons ensuite que \(4b - b^2 \leq 4c - c^2\). En effet, cette inégalité s'écrit \((c - b)(b + c - 4) \leq 0\), ce qui découle de l'estimation précédente. L'inégalité \(4a - a^2 \leq 4b - b^2\) se prouve de même.

Ensuite, les inégalités \(a \leq b \leq c\) et \(4a - a^2 \leq 4b - b^2 \leq 4c - c^2\) permettent d'appliquer l'inégalité de Tchebychev :

\[\begin{aligned} a^2(4a - a^2) + b^2(4b - b^2) + c^2(4c - c^2) &\geq \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2)\big(4(a + b + c) - (a^2 + b^2 + c^2)\big) \\ &= \frac{(12 - d^2)\big(4(6 - d) - (12 - d^2)\big)}{3}. \end{aligned}\]

Cela implique

\[\begin{aligned} (4a^3 - a^4) + (4b^3 - b^4) + (4c^3 - c^4) + (4d^3 - d^4) &\geq \frac{(12 - d^2)(d^2 - 4d + 12)}{3} + 4d^3 - d^4 \\ &= \frac{144 - 48d + 16d^3 - 4d^4}{3} = 36 + \frac{4}{3}(3 - d)(d - 1)(d^2 - 3). \end{aligned} \tag{2}\]

Enfin, \(d^2 \geq \frac{1}{4}(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 3\) (ce qui implique \(d > 1\)) ; l'expression \(\frac{4}{3}(3 - d)(d - 1)(d^2 - 3)\) du membre de droite de (2) est donc positive ou nulle, et l'inégalité voulue est prouvée. \(\blacksquare\)

Remarque

L'inégalité de droite est plus facile que celle de gauche. En particulier, les solutions 2 et 3 montrent que seule la condition \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 12\) est nécessaire pour la première.