Shortlist 2017, A2¶
Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Austria
Concepts : Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
Solution officielle : Shortlist officielle 2017 (avec solutions), p. 14 (page 16 du PDF)
Énoncé¶
Let \(q\) be a real number. Gugu has a napkin with ten distinct real numbers written on it, and he writes the following three lines of real numbers on the blackboard:
- In the first line, Gugu writes down every number of the form \(a - b\), where \(a\) and \(b\) are two (not necessarily distinct) numbers on his napkin.
- In the second line, Gugu writes down every number of the form \(qab\), where \(a\) and \(b\) are two (not necessarily distinct) numbers from the first line.
- In the third line, Gugu writes down every number of the form \(a^2 + b^2 - c^2 - d^2\), where \(a, b, c, d\) are four (not necessarily distinct) numbers from the first line.
Determine all values of \(q\) such that, regardless of the numbers on Gugu's napkin, every number in the second line is also a number in the third line.
Indices : les idées clés
- Une identité algébrique : \(2(x-y)(u-v) = (x-v)^2 + (y-u)^2 - (x-u)^2 - (y-v)^2\) montre que \(q = \pm 2\) conviennent.
- Choisir une serviette particulière (solution 1) : avec \(1, \ldots, 10\), on obtient que \(q\) est entier et \(|q| \leq 2\) ; avec \(0, 1, 4, 8, \ldots, 32\), un argument modulo 8 élimine \(q = \pm 1\).
- Polynôme identiquement nul (solution 2) : un polynôme nul en tout point est le polynôme nul, et un produit de polynômes non nuls est non nul ; on identifie ensuite le coefficient de \(x_1x_3\).
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2017 (deux solutions).
Solution 1¶
Réponse : \(q \in \{-2, 0, 2\}\).
Disons que \(q\) est bon si, quels que soient les nombres de la serviette, tout nombre de la deuxième ligne figure dans la troisième.
\(0\) et \(\pm 2\) sont bons. La troisième ligne contient toujours \(0\) (prendre \(a = b = c = d\)), donc \(0\) est bon. Soient \(a, b\) deux nombres de la première ligne : \(a = x - y\) et \(b = u - v\) avec \(x, y, u, v\) sur la serviette. Alors
et \(x - v\), \(y - u\), \(x - u\), \(y - v\) sont dans la première ligne : \(2\) est bon. En changeant les signes des deux membres (c'est-à-dire en échangeant les rôles des deux paires de carrés), \(-2\) est bon aussi.
Ce sont les seuls. Supposons par l'absurde que \(q\) est bon avec \(q \notin \{-2, 0, 2\}\). Prenons des serviettes particulières.
Supposons que la serviette contienne les entiers \(1, 2, \ldots, 10\). La première ligne contient alors les entiers \(-9, -8, \ldots, 9\). La deuxième ligne contient \(q = q \cdot 1 \cdot 1\) et \(81q = q \cdot 9 \cdot 9\), que la troisième ligne doit donc contenir. Or la troisième ligne ne contient que des entiers, donc \(q\) est entier. De plus, elle ne contient aucun nombre supérieur à \(162 = 9^2 + 9^2 - 0^2 - 0^2\) ni inférieur à \(-162\), donc \(-162 \leq 81q \leq 162\), soit \(|q| \leq 2\). Les seules possibilités restantes sont \(q = \pm 1\).
Supposons \(q = \pm 1\) et prenons la serviette \(0, 1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\). La première ligne contient \(\pm 1\) et \(\pm 4\), donc la deuxième ligne contient \(\pm 4\) (par exemple \(q \cdot 1 \cdot 4 = 4q\), et \(q \cdot (-1) \cdot 4 = -4q\)). Mais tout nombre \(a\) de la première ligne vérifie \(a \not\equiv 2 \pmod 4\) (les différences de nombres de la serviette sont \(\equiv 0\) ou \(\pm 1 \pmod 4\)), donc modulo 8 on a \(a^2 \equiv 0\) ou \(1 \pmod 8\). Par conséquent, tout nombre \(a^2 + b^2 - c^2 - d^2\) de la troisième ligne est congru à \(-2, -1, 0, 1\) ou \(2\) modulo \(8\) ; en particulier, \(\pm 4\) ne peut pas y figurer. Contradiction.
Les valeurs cherchées sont donc exactement \(q \in \{-2, 0, 2\}\). \(\blacksquare\)
Solution 2¶
Soit \(q\) un nombre bon (au sens de la solution 1). Posons \(S = \{x_1, \ldots, x_{10}\}\) et définissons le polynôme
où le second produit porte sur tous les choix de \(a_1, \ldots, a_8\) parmi les variables \(x_1, \ldots, x_{10}\).
\(P\) s'annule partout. Si deux des \(x_i\) sont égaux, \(P = 0\) grâce au premier produit. Sinon, supposons que Gugu a les dix nombres \(x_1, \ldots, x_{10}\) sur sa serviette. Le nombre \(q(x_1 - x_2)(x_3 - x_4)\) est dans la deuxième ligne, donc dans la troisième : il existe \(a_1, \ldots, a_8 \in S\) tels que
et donc \(P(x_1, \ldots, x_{10}) = 0\).
Comme un polynôme qui s'annule en tout point est le polynôme nul, et qu'un produit de polynômes non nuls est non nul, l'un des facteurs est le polynôme nul. Le premier produit ne l'est pas ; il existe donc un choix particulier des \(a_i \in S\) (des variables) tel que
Chacun des ensembles \(\{a_1, a_2\}\), \(\{a_3, a_4\}\), \(\{a_5, a_6\}\), \(\{a_7, a_8\}\) est égal à au plus un des quatre ensembles \(\{x_1, x_3\}\), \(\{x_2, x_3\}\), \(\{x_1, x_4\}\), \(\{x_2, x_4\}\). Il y a donc un de ces quatre ensembles égal à au plus une des paires \(\{a_i, a_{i+1}\}\) ; par symétrie (en renommant les variables), on peut supposer que c'est \(\{x_1, x_3\}\). Soient \(u_1, u_3, u_5, u_7\) les indicatrices de cette égalité : \(u_i = 1\) si \(\{a_i, a_{i+1}\} = \{x_1, x_3\}\), et \(u_i = 0\) sinon. Par hypothèse, au moins trois des \(u_i\) sont nuls.
Calculons le coefficient de \(x_1x_3\) dans \(F\). Le terme \(q(x_1 - x_2)(x_3 - x_4)\) donne \(q\), et \(-(a_i - a_{i+1})^2 = -a_i^2 - a_{i+1}^2 + 2a_ia_{i+1}\) donne \(2\) exactement quand \(\{a_i, a_{i+1}\} = \{x_1, x_3\}\) (de même avec \(-2\) pour les termes affectés du signe \(+\)). Ce coefficient vaut donc
Comme au moins trois des \(u_i\) sont nuls, \(q \in \{-2, 0, 2\}\), comme annoncé. Réciproquement, ces valeurs conviennent (voir la solution 1). \(\blacksquare\)