Shortlist 2020, A3¶

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Israel

Solution officielle : Shortlist officielle 2020 (avec solutions), p. 18 (page 20 du PDF)

Énoncé¶

Suppose that \(a, b, c, d\) are positive real numbers satisfying \((a + c)(b + d) = ac + bd\). Find the smallest possible value of

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}.\]

Indices : les idées clés

AM-GM : appliquée deux fois, d'abord à \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) et \(\frac{b}{c} + \frac{d}{a}\), puis à \(a + c\) et \(b + d\) (solutions 1 et 3) ; dans la solution 2, sous la forme \(t + \frac{1}{t} \geq 2\).
Homogénéité et changement de variables (solution 2) : on se ramène à \(abcd = 1\) et on pose \(A = bc\), \(B = ca\), \(C = ab\).
Réduction à une variable (solutions 2 et 3) : la contrainte force un rapport à être au moins \(2 + \sqrt{3}\), et l'expression est croissante en ce rapport.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2020 (trois solutions).

Réponse : la plus petite valeur est \(8\).

Solution 1¶

Montrons que \(S = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \geq 8\) en appliquant deux fois AM-GM :

\[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{d}{a}\right) \geq 2\sqrt{\frac{ac}{bd}} + 2\sqrt{\frac{bd}{ac}} = \frac{2(ac+bd)}{\sqrt{abcd}} = \frac{2(a+c)(b+d)}{\sqrt{abcd}} \geq 2 \cdot \frac{2\sqrt{ac} \cdot 2\sqrt{bd}}{\sqrt{abcd}} = 8.\]

Ces inégalités sont des égalités lorsque \(a = c\) et \(b = d\). La condition \((a+c)(b+d) = ac + bd\) s'écrit alors \(4ab = a^2 + b^2\), qui est vérifiée lorsque \(\frac{a}{b} = 2 \pm \sqrt{3}\). Ainsi \(S\) vaut \(8\), par exemple, pour \(a = c = 1\) et \(b = d = 2 + \sqrt{3}\). \(\blacksquare\)

Solution 2¶

Homogénéité. La condition et \(S\) sont inchangées si l'on multiplie \(a, b, c, d\) par un même réel positif ; on peut donc supposer \(abcd = 1\). Posons \(ab = C\), \(bc = A\) et \(ca = B\). On retrouve \(a, b, c\) par \(a = \sqrt{BC/A}\), \(b = \sqrt{AC/B}\), \(c = \sqrt{AB/C}\). Comme \(abcd = 1\), on a \(ad = \frac{1}{A}\), \(cd = \frac{1}{C}\), \(bd = \frac{1}{B}\), et la condition s'écrit

\[A + \frac{1}{A} + C + \frac{1}{C} = bc + ad + ab + cd = (a+c)(b+d) = ac + bd = B + \frac{1}{B}.\]

Il s'agit de minimiser

\[\begin{aligned} S &= \frac{ad + bc}{bd} + \frac{ab + cd}{ac} = \left(A + \frac{1}{A}\right)B + \left(C + \frac{1}{C}\right)\frac{1}{B} \\ &= \left(A + \frac{1}{A}\right)\left(B - \frac{1}{B}\right) + \left(A + \frac{1}{A} + C + \frac{1}{C}\right)\frac{1}{B} \\ &= \left(A + \frac{1}{A}\right)\left(B - \frac{1}{B}\right) + \left(B + \frac{1}{B}\right)\frac{1}{B}. \end{aligned}\]

Sans perte de généralité, \(B \geq 1\) (sinon, on remplace \(B\) par \(\frac{1}{B}\) et on échange \(A\) et \(C\), ce qui ne change ni la relation ni la fonction à minimiser). (Le livret écrit « maximiser » ; il faut lire « minimiser ».) Alors \(B - \frac{1}{B} \geq 0\) et, par AM-GM, \(A + \frac{1}{A} \geq 2\), d'où

\[S \geq 2\left(B - \frac{1}{B}\right) + \left(B + \frac{1}{B}\right)\frac{1}{B} = 2B + \left(1 - \frac{1}{B}\right)^2 =: f(B).\]

Clairement, \(f\) est croissante sur \([1, +\infty[\). Comme, toujours par AM-GM,

\[B + \frac{1}{B} = A + \frac{1}{A} + C + \frac{1}{C} \geq 4,\]

on a \(B \geq B'\), où \(B' = 2 + \sqrt{3}\) est l'unique racine supérieure à \(1\) de l'équation \(B' + \frac{1}{B'} = 4\). Donc

\[S \geq f(B) \geq f(B') = 2\left(B' - \frac{1}{B'}\right) + \left(B' + \frac{1}{B'}\right)\frac{1}{B'} = 2B' - \frac{2}{B'} + \frac{4}{B'} = 2\left(B' + \frac{1}{B'}\right) = 8.\]

Enfin, pour \(A = C = 1\) et \(B = B'\), on a l'égalité \(S = 8\). La plus petite valeur est donc \(8\). \(\blacksquare\)

Solution 3¶

Voici une autre preuve de \(S \geq 8\). On part de la même estimation que dans la solution 1 :

\[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{d}{a}\right) \geq 2\sqrt{\frac{ac}{bd}} + 2\sqrt{\frac{bd}{ac}}.\]

Posons \(y = \sqrt{ac}\) et \(z = \sqrt{bd}\), et supposons sans perte de généralité \(ac \geq bd\). Par AM-GM,

\[y^2 + z^2 = ac + bd = (a+c)(b+d) \geq 2\sqrt{ac} \cdot 2\sqrt{bd} = 4yz.\]

Avec \(x = \frac{y}{z} \geq 1\), cela donne \(4x \leq x^2 + 1\) ; pour \(x \geq 1\), c'est équivalent à \(x \geq 2 + \sqrt{3}\). Or

\[2\sqrt{\frac{ac}{bd}} + 2\sqrt{\frac{bd}{ac}} = 2\left(x + \frac{1}{x}\right),\]

qui est minimal (pour \(x \geq 1\)) lorsque \(x\) est le plus proche possible de \(1\), c'est-à-dire pour \(x = 2 + \sqrt{3}\). On obtient alors \(2\left((2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})\right) = 8\), comme voulu. \(\blacksquare\)